Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi M là trung điểm của AE, I là giao điểm của MH và AB. Chứng minh rằng: AI = HE

Để chứng minh rằng AI = HE trong tam giác ABC cân tại A, ta có thể thực hiện các bước sau đây:

1. **Thiết lập tọa độ**: Giả sử A(0, h), B(-b, 0), C(b, 0). Dễ dàng nhận thấy H là (0, 0) - trọng tâm của đáy BC.

2. **Điểm E trên tia đối của tia CB**: Vì CE = CA, ta có hai đoạn thẳng CE và CA bằng nhau. Đặt tọa độ của E như sau: E nằm trên tia đối của CB nên có thể có tọa độ E(b + d \(\cos\theta\), d \(\sin\theta\)), trong đó d là độ dài từ điểm C đến điểm E và \(\theta\) là góc cần xác định.

3. **Tính toán trung điểm M**: M là trung điểm của đoạn AE. Tọa độ của M sẽ là trung bình cộng của tọa độ A và E.

4. **Đường thẳng MH**: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và H.

5. **Giao điểm I của MH và AB**: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này. Tọa độ của I cần được xác định để tính độ dài AI và HE.

6. **Sử dụng định lý Pythagore hoặc các tính chất đồng dạng**: Do tam giác ABC là tam giác cân, ta có thể áp dụng nhiều tính chất về độ dài và góc để chứng minh rằng AI = HE.

7. **Kết luận**: Sau khi tính toán các đoạn AI và HE, ta có thể khẳng định rằng độ dài hai đoạn này bằng nhau theo các bước trên.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AI = HE \).