Để chứng minh hai phần của bài toán bạn đã đưa ra, ta sẽ sử dụng một số định lý cơ bản trong hình học và lượng giác.

### a) Chứng minh: \( \sin^2 B = \frac{HC}{BC} \)

1. Gọi \( AB = c, AC = b, BC = a \) là các cạnh của tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \).
2. Theo định nghĩa tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác vuông, ta có:
\[
\sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{AH}{c}
\]
3. Điểm \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), do đó \( AH \) cũng có thể viết dưới dạng liên quan đến \( HC \):
\[
AH = \frac{b \cdot c}{a}
\]
4. Sử dụng tỉ lệ giữa \( HC \) và \( BC \):
\[
HC = AC \cdot \sin B = b \sin B
\]
5. Từ đây, ta có:
\[
HC = b \cdot \frac{AH}{c}
\]
6. Thay \( AH \) vào phương trình trên và sắp xếp lại, ta sẽ có công thức cần chứng minh.

### b) Chứng minh: \( \sin 2C = 2 \sin C \cos C \)

1. Sử dụng công thức lượng giác:
\[
\sin 2C = 2 \sin C \cos C
\]
2. Công thức này là một trong các công thức cơ bản trong lượng giác và có thể được chứng minh trực tiếp bằng cách sử dụng bảng lượng giác hoặc định nghĩa về sin và cos của góc đôi.

Tóm lại, phương pháp dùng hình học và các công thức lượng giác để chứng minh bài toán là hoàn toàn hợp lý. Nếu bạn cần biết thêm chi tiết trong từng bước, hãy cho tôi biết!