a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) đúng.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac = 2;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac = 2\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 2\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac =  + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, hệ số góc của tiếp tuyến này là \(f'\left( \right) = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = x\) có hệ số góc là \(k = 1\) nên

\(f'\left( \right) = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1\), suy ra \({x_0} =  - 1 + \sqrt 3 \) hoặc \({x_0} =  - 1 - \sqrt 3 \).

Vì đường thẳng \(y = x\) và \(\left( C \right)\) có hai giao điểm nên \(y = x\) không phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Vậy tổng hoành độ của hai tiếp điểm là \(k =  - 1 + \sqrt 3  + \left( { - 1} \right) - \sqrt 3  =  - 2\), đây không phải là một số chính phương. Do đó, ý d) sai.