Để giải bài tập này, ta sẽ xem từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh rằng \((x - 3)^2 + 65 = x(x - 6) + 74\)

**Bước 1:** Tính giá trị bên trái

\[
(x - 3)^2 + 65 = (x^2 - 6x + 9) + 65 = x^2 - 6x + 74
\]

**Bước 2:** Tính giá trị bên phải

\[
x(x - 6) + 74 = (x^2 - 6x) + 74 = x^2 - 6x + 74
\]

**Bước 3:** So sánh hai biểu thức

Ta thấy rằng cả hai vế đều bằng nhau:

\[
(x - 3)^2 + 65 = x(x - 6) + 74 = x^2 - 6x + 74
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng:

\[
(x - 3)^2 + 65 = x(x - 6) + 74
\]

### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x(x - 6) + 74\)

**Bước 1:** Tính \(M\)

\[
M = x^2 - 6x + 74
\]

**Bước 2:** Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc 2

Biểu thức \(M = x^2 - 6x + 74\) là một parabol mở lên. Giá trị nhỏ nhất của nó xảy ra tại đỉnh của parabol.

Công thức tính hoành độ đỉnh của parabol là:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
\]

**Bước 3:** Thay \(x = 3\) vào \(M\)

\[
M = 3^2 - 6 \cdot 3 + 74 = 9 - 18 + 74 = 65
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là:

\[
\boxed{65}
\]