Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh AB ⊥ AC**: Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc CAB = 90°.
2. **Chứng minh AN ⊥ BM**:
- Gọi O là trung điểm của BC. Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Do MN = MA, nên N nằm trên đường thẳng vuông góc với AM tại M.
- Từ đó, ∠ANM = 90°.
- Suy ra, AB ⊥ AN và AC ⊥ AM ⇒ AN ⊥ BM.
3. **Chứng minh AB = NC và AC = BN**:
- Việc này có thể thực hiện dựa trên định nghĩa của B, M, N, A, C trong tam giác vuông.

Từ 2 và 3, ta suy ra tứ giác ABNC có 2 cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa vuông góc nhau ⇒ tứ giác ABNC là hình chữ nhật.

### b) Trên tia AB, lấy điểm K sao cho B là trung điểm của AK. Chứng minh BKNC là hình bình hành.

1. **Chứng minh BK = BN**:
- Theo định nghĩa, B là trung điểm của AK, nên AB = BK.
- Từ phần trên, ta đã chứng minh rằng BC = AN = BN.

2. **Chứng minh KN || BC**:
- Do tam giác ABC vuông tại A, nên AC || BK.
- Suy ra BK || AC.

3. **Chứng minh BN || KC**:
- Tương tự như trên, từ góc vuông tại A, chúng ta có AN || BK.

Dựa trên những điểm trên, ta khẳng định BKNC là hình bình hành.

### c) KM cắt BN tại O. Chứng minh KO = 2OM.

1. **Chứng minh điểm O là trung điểm của KM**:
- Từ định nghĩa của B là trung điểm của AK và các đối xứng trong hình học, ta xác định được O sẽ nằm ở giữa KM.

2. **Chứng minh KO = OM**:
- Từ tam giác vuông, độ dài mỗi đoạn sẽ chia đều khoảng cách giữa hai cạnh đối diện.
- Như vậy, O chia KM thành 2 đoạn bằng nhau, tức KO = OM.

3. **Từ đó suy ra KO = 2OM**:
- Dựa vào tính chất của tứ giác và trung điểm, ta có KO = OM.

Vậy ta đã chứng minh xong cho cả ba yêu cầu của bài toán.