Để tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \( x + y \) với điều kiện \( 8x + 5y = 46 \), trước tiên ta sẽ biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
5y = 46 - 8x \implies y = \frac{46 - 8x}{5}
\]

Để \( y \) là số nguyên, \( 46 - 8x \) phải chia hết cho 5. Ta xét điều kiện chia hết:

\[
46 - 8x \equiv 0 \mod{5}
\]

Tính \( 46 \mod{5} \):

\[
46 \div 5 = 9 \quad \text{và dư} \ 1 \implies 46 \equiv 1 \mod{5}
\]

Và tính \( 8x \mod{5} \):

\[
8 \equiv 3 \mod{5} \implies 8x \equiv 3x \mod{5}
\]

Khi đó, ta có:

\[
1 - 3x \equiv 0 \mod{5} \implies 3x \equiv 1 \mod{5}
\]

Giải phương trình trên, ta sẽ tìm nghịch đảo của \( 3 \) modulo \( 5 \). Nghịch đảo của \( 3 \) trong modulo \( 5 \) là \( 2 \) vì:

\[
3 \cdot 2 \equiv 6 \equiv 1 \mod{5}
\]

Nhân cả hai vế với \( 2 \):

\[
x \equiv 2 \mod{5}
\]

Do đó, ta có thể viết:

\[
x = 5k + 2 \quad với \ k \in \mathbb{Z}
\]

Thay vào phương trình \( y = \frac{46 - 8x}{5} \):

\[
y = \frac{46 - 8(5k + 2)}{5} = \frac{46 - 40k - 16}{5} = \frac{30 - 40k}{5} = 6 - 8k
\]

Giờ ta có:

\[
x = 5k + 2 \quad \text{và} \quad y = 6 - 8k
\]

Bây giờ ta cần \( x \) và \( y \) lớn hơn 0 (nguyên dương):

1. Để \( x \) nguyên dương:
\[
5k + 2 > 0 \implies k \geq 0
\]

2. Để \( y \) nguyên dương:
\[
6 - 8k > 0 \implies k < \frac{6}{8} \implies k < \frac{3}{4}
\]
Vậy \( k = 0 \).

Thay \( k = 0 \) vào \( x \) và \( y \):

\[
x = 5(0) + 2 = 2 \quad \text{và} \quad y = 6 - 8(0) = 6
\]

Giá trị \( x + y \) là:

\[
x + y = 2 + 6 = 8
\]

Vậy giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \( x + y \) là:

\[
\boxed{8}
\]