Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh △AMC cân

Ta có △ABC vuông tại A, với AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Từ đó, ta có AM là đường trung tuyến và M là trung điểm của BC.

1. **Chứng minh \( AM = MB \) và \( AM = MC \)**:
- M vì M là trung điểm của BC nên \( BM = MC \).
- Theo định lý trung tuyến trong tam giác, ta có \( AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \).

2. **Sử dụng tính chất của hình vuông**:
- ΔAMC và ΔAMB đều có chung cạnh AM và M là trung điểm của BC, do đó \( MB = MC \).
- Từ đó suy ra rằng \( AM = MB = MC \).

=> Suy ra △AMC là tam giác cân với AM = MC.

### b) Chứng minh △AMCN là hình thoi

Ta có M tại hạ MO vuông góc với AC. Giả sử N là điểm trên MO sao cho \( MO = NO \).

1. **Chứng minh \( AN = CN \)**:
- Vì M là trung điểm, ta có thể kéo dài đoạn thẳng MO để tìm N sao cho \( MO = NO \).
- Do tứ giác AMNC có AC vuông góc với MO, nên AN = CN do MO là phân giác.

=> Suy ra △AMCN là hình thoi.

### c) Chứng minh \( A, M, D \) thẳng hàng

1. **Điểm D là trung điểm của MC**, chúng ta có:
- Đặt \( I \) là điểm trên tia NI sao cho \( IN = ID \).

2. **Chứng minh các điểm A, M, D thẳng hàng**:
- D là trung điểm của MC, khi đó M, D sẽ nằm trên đường thẳng đi qua A.
- Từ chứng minh ở bước trên, ta có các điểm A, M, D thẳng hàng theo điều kiện \( IN = ID \).

=> Kết luận: Các điểm A, M, D thẳng hàng.

Tóm lại, bằng các chứng minh và xây dựng các góc vuông, chúng ta đã cho thấy được tính chất của các tam giác và điểm.