Để chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành trong tam giác ABC với các điều kiện đã cho, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tức là H là giao điểm của ba đường cao của tam giác này.
- Bx: đường vuông góc từ B đến AB.
- Cy: đường vuông góc từ C đến AC.
- D: giao điểm của Bx và Cy.

2. **Chứng minh rằng BH song song với CD và BD song song với HC:**
- Xét đường thẳng Bx, do Bx vuông góc với AB và H nằm trên đường cao từ H đến AC.
- Do đó, góc BHD = 90 độ.
- Tương tự, Cy vuông góc với AC và H nằm trên đường cao từ C đến AB nên góc CHD = 90 độ.
- Do đó, góc BHD = góc CHD = 90 độ, suy ra BH // CD.

3. **Chứng minh nữa:**
- Bx và Cy vuông góc với các cạnh của tam giác, vì vậy BD cũng vuông góc với AC và HC vuông góc với AB.
- Ở góc HBC và HCB, cả hai đều có cùng góc với đường chéo BH và CD.
- Như vậy, BD // HC.

4. **Kết luận:**
- Theo tính chất của hai cặp cạnh đối diện song song trong tứ giác, ta có tứ giác BHCD là hình bình hành.

### b) Chứng minh 3 điểm H, O, D thẳng hàng.

1. **Gọi O là trung điểm của BC:**
- Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng BC, thì ta có: OB = OC.

2. **Chứng minh ba điểm H, O, D thẳng hàng:**
- Từ trực tâm H, kẻ đường cao HA và HB.
- Do O là trung điểm của BC, do đó HA sẽ đi qua O.
- Xét tam giác HBC: Trong tam giác này, D là giao điểm các đường cao HB và HC, do vậy H sẽ cũng là chân đường cao từ A xuống BC, cho thấy H, O và D thẳng hàng.

3. **Kết luận:**
- Do đó, ta có H, O, D thẳng hàng, chứng minh xong bài toán.

Hy vọng với các bước chứng minh rõ ràng này, bạn sẽ có thể hiểu và áp dụng cho kỳ thi của mình. Chúc bạn học tốt!