Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Lấy điểm E sao cho N là trung điểm của ME. Chứng minh rằng: Tứ giác AECM là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác \( AECM \) là hình bình hành, ta có thể sử dụng định nghĩa về hình bình hành và tính chất của các trung điểm.

**Giả thiết:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), tức là \( BM = MC \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \), tức là \( AN = NC \).
- \( N \) cũng là trung điểm của \( ME \).

**Chứng minh:**
1. Từ giả thuyết, ta có:
\[
\overline{AM} = \overline{MC} \quad \text{và} \quad \overline{AN} = \overline{NC}
\]

2. Vì \( N \) là trung điểm của \( ME \), ta có:
\[
\overline{MN} = \overline{NE}
\]

3. Từ đây, ta sẽ sử dụng định nghĩa tứ giác là hình bình hành: "Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song hoặc bằng nhau."

4. Chúng ta sẽ chứng minh rằng:
- \( \overline{AE} = \overline{MC} \)
- \( \overline{AC} = \overline{ME} \)

5. Để làm điều này, ta sử dụng các trung điểm. Do \( M \) và \( N \) là trung điểm, có thể viết các vector vị trí:
- \( \overline{AM} = \frac{1}{2} \overline{AC} \)
- \( \overline{AE} = \frac{1}{2} \overline{AC} \)

6. Kết hợp lại, ta đã có:
\[
\overline{AE} = \overline{MC} \quad \text{và} \quad \overline{AC} = \overline{ME}
\]

7. Do đó, \( AE \) và \( CM \) song song với nhau, tương tự \( AC \) và \( ME \) cũng song song với nhau.

**Kết luận:**
Tứ giác \( AECM \) là hình bình hành.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( AECM \) là hình bình hành.