Để chứng minh rằng tứ giác \( AECM \) là hình bình hành, ta có thể sử dụng định nghĩa về hình bình hành và tính chất của các trung điểm.

**Giả thiết:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), tức là \( BM = MC \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \), tức là \( AN = NC \).
- \( N \) cũng là trung điểm của \( ME \).

**Chứng minh:**
1. Từ giả thuyết, ta có:
\[
\overline{AM} = \overline{MC} \quad \text{và} \quad \overline{AN} = \overline{NC}
\]

2. Vì \( N \) là trung điểm của \( ME \), ta có:
\[
\overline{MN} = \overline{NE}
\]

3. Từ đây, ta sẽ sử dụng định nghĩa tứ giác là hình bình hành: "Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song hoặc bằng nhau."

4. Chúng ta sẽ chứng minh rằng:
- \( \overline{AE} = \overline{MC} \)
- \( \overline{AC} = \overline{ME} \)

5. Để làm điều này, ta sử dụng các trung điểm. Do \( M \) và \( N \) là trung điểm, có thể viết các vector vị trí:
- \( \overline{AM} = \frac{1}{2} \overline{AC} \)
- \( \overline{AE} = \frac{1}{2} \overline{AC} \)

6. Kết hợp lại, ta đã có:
\[
\overline{AE} = \overline{MC} \quad \text{và} \quad \overline{AC} = \overline{ME}
\]

7. Do đó, \( AE \) và \( CM \) song song với nhau, tương tự \( AC \) và \( ME \) cũng song song với nhau.

**Kết luận:**
Tứ giác \( AECM \) là hình bình hành.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( AECM \) là hình bình hành.