Để chứng minh tứ giác \( EKFH \) là hình bình hành, ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh hai cặp cạnh đối song song

1. **Xét các đường thẳng:**
- Gọi \( a \) là đường thẳng cắt \( AD \) tại \( E \) và \( BC \) tại \( F \).
- Gọi \( b \) là đường thẳng cắt \( AB \) tại \( K \) và \( CD \) tại \( H \).

2. **Xét tính song song của các cạnh:**
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, nên \( AD \) song song với \( BC \) và \( AB \) song song với \( CD \).
- Do \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \), ta có được rằng \( O \) là điểm trung gian, và hai đường thẳng \( a \) và \( b \) cũng phân chia các cạnh trên thành hai đoạn song song tương ứng.

### Bước 2: Chứng minh hai cặp cạnh đối bằng nhau

1. **Đoạn \( EK \) và \( FH \):**
- Do các đoạn \( AD \) và \( BC \) song song nhau, ta suy ra rằng \( EK \) và \( FH \) phải bằng nhau (theo định nghĩa của hình bình hành).

2. **Đoạn \( EF \) và \( KH \):**
- Tương tự, \( EF \) và \( KH \) cũng bằng nhau do tính chất song song của \( AB \) với \( CD \).

### Kết luận

Vì hai cặp cạnh đối của tứ giác \( EKFH \) vừa song song vừa bằng nhau, ta suy ra rằng tứ giác \( EKFH \) là hình bình hành.

Như vậy, ta đã hoàn tất chứng minh rằng tứ giác \( EKFH \) là hình bình hành.