Để chứng minh \( OM = ON \), ta có thể sử dụng một số tính chất của hình thang và các đường thẳng song song.

**Bước 1:** Gọi \( AB \parallel CD \) và \( OM \parallel AB \). Vì así, theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có các cặp góc đồng vị bằng nhau.

**Bước 2:** Tại điểm \( O \), góc \( OMA \) đồng vị với góc \( ONC \) (góc đồng vị). Tương tự, góc \( OMB \) đồng vị với góc \( OND \).

**Bước 3:** Một sự thật quan trọng là hai tam giác \( OMA \) và \( ONC \) có các góc tương ứng bằng nhau, tức là:

- \( \angle OMA = \angle ONC \)
- \( \angle OMB = \angle OND \)

**Bước 4:** Theo tiêu chuẩn của tam giác đồng dạng (góc-góc), ta có thể suy ra rằng hai tam giác \( OMA \) và \( ONC \) là đồng dạng.

**Bước 5:** Do \( OM \parallel AB \) và \( ON \parallel AB \), thì \( OM \) và \( ON \) phải có độ dài bằng nhau.

**Kết luận:** Ta có \( OM = ON \).

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán.