Để giải bài toán này, chúng ta có hai phương trình:

1. \( \cos x + \sin x = m \)
2. \( \sin 2x \cos x + \sin x = m \)

Trước tiên, chúng ta cần nhớ rằng:

\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]

Vậy phương trình thứ hai có thể viết lại như sau:

\[
2 \sin x \cos^2 x + \sin x = m
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế từ phương trình đầu tiên vào phương trình thứ hai. Đầu tiên, từ phương trình (1), chúng ta có thể biểu diễn \(\sin x\) theo \(\cos x\) hoặc ngược lại. Tuy nhiên, để đơn giản hơn, hãy sử dụng phương trình đầu tiên để tính giá trị của \(\sin x\) trong phương trình thứ hai. Từ phương trình (1):

\[
\sin x = m - \cos x
\]

Tiếp theo, thay \(\sin x\) vào phương trình (2):

\[
2 (m - \cos x) \cos^2 x + (m - \cos x) = m
\]

Khi rút gọn và giải phương trình, chúng ta sẽ tìm ra \(\cos x\) và từ đó tính được giá trị của \(\sin 2x\).

Bước tiếp theo là giải phương trình này để tìm giá trị của \(\cos x\). Sau đó, bạn sẽ có thể tính \(\sin x\) và cuối cùng là \(\sin 2x\).

Tuy nhiên, vì câu hỏi không cung cấp giá trị cụ thể của \(m\), chúng ta không thể tiếp tục với các số liệu cụ thể. Bạn có thể giải ra theo các bước đã chỉ dẫn và thay thế giá trị \(m\) vào để tìm ra kết quả cụ thể cho trường hợp của bạn.