Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại điểm D. Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \( BDCH \) là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

**Bước 1: Xác định tính chất của tứ giác \( BDCH \)**

- Đường thẳng \( BD \) vuông góc với \( AB \).
- Đường thẳng \( CH \) cũng vuông góc với \( AC \) tại điểm \( C \).
- Từ đó, \( BD \) và \( CH \) tạo thành hai cạnh vuông góc với cùng một cạnh của tam giác.

**Bước 2: Tính chất của đường cao**

Theo tính chất, các đường cao \( AA' \), \( BB' \), \( CC' \) của tam giác nhọn \( ABC \) cắt nhau tại điểm \( H \). Điểm \( H \) là trực tâm của tam giác.

**Bước 3: Tính toán độ dài các cạnh**

Từ các tính chất đường cao và góc vuông tại các điểm:

- Ta có \( BD \) vuông góc với \( AB \) và \( CH \) vuông góc với \( AC \). Do đó, \( BD \) song song với \( CH \).

- Cạnh \( BH \) và cạnh \( DC \) cũng sẽ tạo thành cặp cạnh đối diện của hình bình hành.

**Bước 4: Kết luận**

Do các cạnh \( BD \) song song với \( CH \) và \( BH \) song song với \( DC \), kết hợp với chiều dài bằng nhau, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BDCH \) là hình bình hành.

Do đó, ta đã chứng minh được yêu cầu đề bài.