Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

**a)** Xét tứ giác \(AMIN\).

- Ta biết rằng tứ giác này được tạo ra từ điểm \(A\) là một trong các đỉnh, các điểm \(M\) và \(N\) được xác định từ các đường vuông góc được vẽ từ điểm \(I\) tới các cạnh \(AC\) và \(AB\).
- Vì \(IN\) vuông góc với \(AB\) và \(IM\) vuông góc với \(AC\), chúng ta có thể thấy rằng góc \(ANI\) bằng \(90^\circ\) và góc \(AMI\) cũng bằng \(90^\circ\).
- Do đó tứ giác \(AMIN\) có 2 cặp góc vuông và cạnh \(AM\) song song với cạnh \(NI\) (bởi vì cả hai đều vuông góc với cùng một cạnh). Điều này dẫn tới kết luận rằng tứ giác \(AMIN\) là một hình chữ nhật.

**b)** Xét hình thoi \(ADCI\).

- Theo giả thiết, ta lấy điểm \(D\) sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(ID\).
- Diện tích của hình thoi được tạo thành bởi 4 điểm \(A\), \(D\), \(C\), và \(I\) sẽ thỏa mãn một số điều kiện:
1. Ta cần chứng minh rằng \(AD = AC\) và \(AI = ID\).
2. Bởi vì \(M\) là trung điểm, ta có \(IM = MD\).

- Kết hợp điều này với kết quả ở phần (a), chúng ta nhận thấy rằng:
- \(AI\) là một đoạn thẳng và \(M\) chia \(ID\) thành 2 đoạn bằng nhau.
- Như vậy, trong tam giác vuông \(AMC\), số đo của các cạnh thoả mãn \(AM = MN\) bằng nhau.
- Do đó, ta kết luận rằng \(AD = AI\) và \(ID = MI\).

Cuối cùng, ta thấy rằng tứ giác \(ADCI\) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, và mặt khác, do các liên kết vuông góc đã xây dựng giữa các điểm, ta có các kỷ lục của nó tạo ra hình thoi.

Tóm lại:
- Tứ giác \(AMIN\) là hình chữ nhật.
- Tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.