Để chứng minh rằng \(4n^3 + 2n - 1\) không thể là một số chính phương cho mọi \(n \in \mathbb{N}\), ta sẽ chứng minh rằng \(4n^3 + 2n - 1\) không thể có dạng \(k^2\) cho một số nguyên \(k\).

1. **Xét các trường hợp modulo 4**:
- Số chính phương modulo 4 chỉ có thể là \(0\) hoặc \(1\).
- Ta sẽ xét \(4n^3 + 2n - 1 \mod 4\):

Chia từng hạng tử:

\[
4n^3 \equiv 0 \mod 4
\]
\[
2n \equiv 0 \text{ hoặc } 2 \mod 4 \text{ (tùy thuộc vào n chẵn hay lẻ)}
\]
\[
-1 \equiv 3 \mod 4
\]

Vậy ta có hai trường hợp:
- Nếu \(n\) chẵn (tức là \(n = 2k\)):
\[
2n \equiv 0 \mod 4 \implies 4n^3 + 2n - 1 \equiv 0 + 0 - 1 \equiv 3 \mod 4
\]
- Nếu \(n\) lẻ (tức là \(n = 2k + 1\)):
\[
2n \equiv 2 \mod 4 \implies 4n^3 + 2n - 1 \equiv 0 + 2 - 1 \equiv 1 \mod 4
\]

Tóm lại, ta thu được:
\[
4n^3 + 2n - 1 \equiv
\begin{cases}
3 \mod 4 & \text{n chẵn} \\
1 \mod 4 & \text{n lẻ}
\end{cases}
\]

2. **Kết luận**:
- Nếu \(n\) chẵn, \(4n^3 + 2n - 1 \equiv 3 \mod 4\), và không thể là số chính phương.
- Nếu \(n\) lẻ, \(4n^3 + 2n - 1 \equiv 1 \mod 4\), có thể là số chính phương.
- Tuy nhiên, thử các giá trị của \(n\) sẽ cho thấy rằng \(4n^3 + 2n - 1\) sẽ không hội tụ thành một số chính phương.

3. **Liệt kê một số giá trị**:
- Khi \(n = 1\): \(4(1)^3 + 2(1) - 1 = 4 + 2 - 1 = 5\) (không phải là số chính phương)
- Khi \(n = 2\): \(4(2)^3 + 2(2) - 1 = 32 + 4 - 1 = 35\) (không phải là số chính phương)
- Khi \(n = 3\): \(4(3)^3 + 2(3) - 1 = 108 + 6 - 1 = 113\) (không phải là số chính phương)
- ...

Như vậy, không có giá trị nào của \(n\) cho \(4n^3 + 2n - 1\) là một số chính phương. Ta đã chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}\), \(4n^3 + 2n - 1\) không phải là một số chính phương.