Để giải các phương trình và bất phương trình đã cho, chúng ta sẽ xem từng trường hợp một.

### a. Giải phương trình |2x - 3| = |1 - x|

Hai trường hợp từ định nghĩa giá trị tuyệt đối:

1. **Trường hợp 1:** \(2x - 3 = 1 - x\)
\[
2x + x = 1 + 3 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}
\]

2. **Trường hợp 2:** \(2x - 3 = -(1 - x)\)
\[
2x - 3 = -1 + x \Rightarrow 2x - x = -1 + 3 \Rightarrow x = 2
\]

Vậy, các giá trị của \(x\) thỏa mãn là \(x = \frac{4}{3}\) và \(x = 2\).

### b. Giải bất phương trình \(x^2 - 4x \leq 5\)

Biến đổi bất phương trình:
\[
x^2 - 4x - 5 \leq 0
\]

Nhân số hạng bên trái thành tích:
\[
(x - 5)(x + 1) \leq 0
\]

Xác định các nghiệm của phương trình:
- **Nghiệm:** \(x = 5\) và \(x = -1\)

Sử dụng bảng dấu hoặc phân tích dấu:
- Xét khoảng: \( (-\infty, -1), (-1, 5), (5, +\infty) \)

Kiểm tra dấu của biểu thức:
- Trong khoảng \((- \infty, -1)\) : Giá trị âm.
- Trong khoảng \((-1, 5)\) : Giá trị dương.
- Trong khoảng \((5, +\infty)\) : Giá trị âm.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là:
\[
[-1, 5]
\]

### c. Giải bất phương trình \(2x(2x - 1) \leq 2x - 1\)

Biến đổi bất phương trình:
\[
2x(2x - 1) - (2x - 1) \leq 0
\]
\[
2x(2x - 1) - 2x + 1 \leq 0
\]
\[
4x^2 - 2x - 2x + 1 \leq 0 \Rightarrow 4x^2 - 4x + 1 \leq 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
4x^2 - 4x + 1 = 0
\]
Tính Δ:
\[
Δ = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0
\]

Phương trình có nghiệm duy nhất:
\[
x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Vì dấu của hệ số bậc 2 là dương (a = 4), nên biểu thức \(4x^2 - 4x + 1\) không bao giờ âm:

Do đó, giải bất phương trình:
\[
4x^2 - 4x + 1 \leq 0 \text{ chỉ xảy ra khi } x = \frac{1}{2}.
\]

### Kết luận

- a. \(x = \frac{4}{3}, 2\)
- b. \(x \in [-1, 5]\)
- c. \(x = \frac{1}{2}\)