Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 2 cm, BC = 4 cm. Tính góc B và cạnh AC

Để giải bài toán với tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB = 2 \, \text{cm} \) và \( BC = 4 \, \text{cm} \), ta thực hiện như sau:

### a. Tính góc B và cạnh AC.

1. **Tính cạnh AC**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), nên theo định lý Pythagore, có:
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]
- Thay các giá trị:
\[
AC^2 + 2^2 = 4^2
\]
\[
AC^2 + 4 = 16
\]
\[
AC^2 = 12
\]
\[
AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

2. **Tính góc B**:
- Sử dụng định nghĩa cơ bản về sin trong tam giác vuông:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC}
\]
- Thay vào:
\[
\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
- Suy ra:
\[
B = 60^\circ
\]

### b. Chứng minh tam giác DKH đồng dạng với tam giác BKC.

1. **Đặt điểm H trên cạnh AC** và vẽ đường thẳng vuông góc với BH tại K.
2. **Kẻ đường thẳng BA**, vì \( A \) là điểm chung của \( BD \) và \( AC \). Do đó, \( DH \) cắt \( BC \) tại \( E \).
3. **Tam giác DKH và BKC**:
- Cả hai tam giác này đều chia chung một góc: góc \( K \).
- Ta cần kiểm tra tỉ số \( \frac{DK}{BK} \) và \( \frac{DH}{BC} \):
- Chú ý rằng \( DH \perp BK \Rightarrow DK \perp BH \).

**Vậy \( \triangle DKH \sim \triangle BKC \)** theo tiêu chuẩn góc-góc (góc K chung và góc vuông).

### c. Tính diện tích tam giác ABE khi biết BD = 3 cm.

1. **Tính độ dài BE**:
- Từ BD = 3 cm, và \(\ AB = 2\,cm\), suy ra BE:
\[
BE = BC - CD = 4 \, \text{cm} - 3 \, \text{cm} = 1 \, \text{cm}
\]

2. **Tính diện tích tam giác ABE**:
- Diện tích tam giác \( ABE = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \, \text{cm}^2
\]

### Kết quả:
a. Cạnh \( AC = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \) và góc \( B = 60^\circ \).

b. Chứng minh tam giác \( DKH \) đồng dạng với \( BKC \).

c. Diện tích tam giác \( ABE = 1 \, \text{cm}^2 \).