Cho đường tròn (O) và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O). Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M

Để chứng minh đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \), ta sẽ sử dụng định nghĩa về tiếp tuyến và một số tính chất của hình học phẳng.

**Chứng minh:**

1. **Cho các điểm và đường tròn:**
- Giả sử \( O \) là tâm của đường tròn \( (O) \) và \( I \) là một điểm nằm ngoài đường tròn.
- Kẻ đường kính \( IO \) và gọi \( K \) là tâm của đường tròn mới với đường kính này.
- Điểm \( M \) là giao điểm của đường tròn tâm \( K \) và đường tròn \( (O) \).

2. **Tính chất của tiếp tuyến:**
- Đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( M \) thì và chỉ thì đoạn thẳng \( OM \) vuông góc với \( IM \).

3. **Xét tam giác:**
- Xét tam giác \( OIM \).
- Đường kính \( IO \) tạo ra tam giác vuông tại \( M \) theo định nghĩa của đường kính, nghĩa là góc \( IMK \) (với điểm \( K \) nằm trên đường kính) bằng 90 độ.

4. **Sử dụng tính chất vuông góc:**
- Từ tính chất trên, ta có:
\[
\angle OMI = 90^\circ
\]
- Điều này có nghĩa là \( OM \perp IM \).

5. **Kết luận:**
- Do đó, theo định nghĩa về tiếp tuyến, đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \).

Vậy ta đã chứng minh rằng đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \).