Chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) nguyên thỏa mãn hai điều kiện:

1. \( n + 2 \) chia hết cho \( n - 1 \),
2. \( n + 2 \) chia hết cho \( n - 2 \).

### Điều kiện 1:
Điều kiện đầu tiên có thể được viết thành phương trình:
\[
n + 2 \equiv 0 \mod (n - 1)
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
n + 2 = k(n - 1)
\]
cho một số nguyên \( k \). Ta có thể viết lại:
\[
n + 2 = kn - k
\]
Sắp xếp lại, ta được:
\[
n - kn + k + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad n(1 - k) = -k - 2
\]

Vậy ta có:
\[
n = \frac{-k - 2}{1 - k}
\]

### Điều kiện 2:
Điều kiện thứ hai cũng tương tự:
\[
n + 2 \equiv 0 \mod (n - 2)
\]
Có nghĩa là:
\[
n + 2 = m(n - 2)
\]
cho một số nguyên \( m \). Sắp xếp lại:
\[
n + 2 = mn - 2m
\]
=>
\[
n - mn + 2m + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad n(1 - m) = -2m - 2
\]

Vậy ta có:
\[
n = \frac{-2(m + 1)}{1 - m}
\]

### Tìm các giá trị của n:
Chúng ta cần giá trị \( n \) thỏa mãn cả 2 điều kiện trên. Ta có hai biểu thức cho \( n \):
1. \( n = \frac{-k - 2}{1 - k} \)
2. \( n = \frac{-2(m + 1)}{1 - m} \)

Vì hai biểu thức này có thể bằng nhau, ta có thể thử các giá trị nguyên cho \( k \) và \( m \) để tìm ra các giá trị khả thi cho \( n \).

### Thử giá trị cụ thể:
Ta thử một vài giá trị cụ thể cho \( n \) để tìm ra nghiệm.

- Nếu ta thử \( n = 3 \):
* \( n + 2 = 5 \) chia hết cho \( n - 1 = 2 \) (đúng).
* \( n + 2 = 5 \) chia hết cho \( n - 2 = 1 \) (đúng).

- Nếu thử \( n = 4 \):
* \( n + 2 = 6 \) chia hết cho \( n - 1 = 3 \) (đúng).
* \( n + 2 = 6 \) chia hết cho \( n - 2 = 2 \) (đúng).

Tiếp tục thử đến khi tìm ra các \( n \) phù hợp…

Cuối cùng, các giá trị nguyên mà \( n \) thỏa mãn là \( n = 3 \) và \( n = 4 \).