Thu gọn tổng sau. Tính tổng

Chúng ta sẽ giải từng bài một:

### Bài 1
**Thu gọn tổng:**
\[ E = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} - \ldots + \frac{1}{3^{50}} - \frac{1}{3^{51}} \]

Bài toán này có thể viết lại dưới dạng tổng của cấp số cộng với số hạng đầu tiên \( a = -\frac{1}{3} \) và số hạng cuối cùng \( l = -\frac{1}{3^{51}} \).

Tổng số hạng là \( n = 51 \) (so với số hạng \( k = 1 \), ta có chúng ta tìm từ \( k = 1 \) đến \( k = 51 \)). Công thức tổng:

\[
S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}
\]

Với \( q = -\frac{1}{3} \) và \( n = 51 \):
\[
E = \frac{-\frac{1}{3}(1 - (-\frac{1}{3})^{51})}{1 - (-\frac{1}{3})}
\]

Tính giá trị:

\[
E = \frac{-\frac{1}{3}(1 - \frac{(-1)^{51}}{3^{51}})}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}(1 + \frac{1}{3^{51}})}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{4}(1 + \frac{1}{3^{51}})
\]

### Bài 2
**Tính tổng:**
\[ G = \frac{3}{5} + \frac{2}{5^4} + \frac{3}{5^7} + \ldots + \frac{3}{5^{100}} \]

Nhìn vào công thức, ta có thể nhận thấy các số hạng có chỉ số là bội số của 3. Để đơn giản hoá, ta tách ra thành ba phần:

- Số hạng đầu tiên \( \frac{3}{5} \)
- Số hạng có dạng \( \frac{2}{5^4} \), và các số hạng còn lại có công thức \( \frac{3}{5^{3k+1}} \)

Có thể viết lại:

\[
G = \sum_{n=0}^{k} \frac{3}{5^{3n+1}}
\]

Tổng số hạng là 100, tức \( k \) ở đây là 33. Sử dụng công thức tổng cấp số nhân:

\[
G = \frac{3(1 - \left( \frac{1}{5^3} \right)^{34})}{1 - \frac{1}{5^3}} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{5^4}(1 - \left( \frac{1}{5^3} \right)^{33})
\]

### Bài 3
**Chia biểu thức:**
\[ A = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^3} + \ldots + \frac{1}{3^{100}} \]

Áp dụng định nghĩa tương tự như trên, tổng trị tuyệt đối sẽ là:

\[
|A| = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{3^{100}})
\]

Giá trị của biểu thức B là:

\[
B = 4|A| + \frac{1}{3^{100}} = 4 \cdot \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{3^{100}}) + \frac{1}{3^{100}} = 1 + \frac{5}{3^{100}}
\]

### Bài 4
**Tính tổng:**
\[ H = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \ldots + \frac{2017}{3^{2017}} \]

Dùng công thức tổng của bài này, chúng ta có thể nhận thấy rằng:

\[
H = \sum_{n=1}^{2017} \frac{n}{3^n}
\]

Áp dụng công thức tổng các cấp số:

\[
H = \frac{3}{(3-1)^2} = \frac{3}{4} \text{(phương pháp phần số)}.
\]

Cuối cùng, bài giải khiến cho việc sử dụng tổng quát và phân tích trở nên dễ dàng hơn. Tính ra sẽ cho các giá trị tổng cùng với việc sử dụng các công thức thích hợp.

Hy vọng rằng những phân tích trên giúp ích cho bạn trong việc hiểu và thu gọn từng bài toán!