Cho tam giác ABC cân tại A, có BK và CK là 2 đường phân giác. Chứng minh: tam giác ABH = tam giác ACK. BCHK là hình thang cận

Để chứng minh hai phần của bài toán, ta tiến hành từng bước một.

### Phần a: Chứng minh \( \triangle ABH \cong \triangle ACK \)

1. **Gọi các điểm**:
- H là giao điểm của đường phân giác BK với cạnh AC.
- K là giao điểm của đường phân giác CK với cạnh AB.
- B và C là hai đỉnh của tam giác ABC cân tại A.

2. **Tính chất của đường phân giác**:
- Do BK là đường phân giác của góc B, nên ta có:
\[
\frac{AH}{HC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Tương tự, do CK là đường phân giác của góc C, nên ta có:
\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{AB}
\]

3. **Mối quan hệ giữa các cạnh**:
- Trong tam giác ABC cân tại A, ta có \( AB = AC \), từ đó \(\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{AB} = 1 \).
- Từ đó, suy ra từ (1) và (2):
\[
\frac{AH}{HC} = \frac{AK}{KB}
\]
- Suy ra \( AH = AK \) và \( HC = KB \).

4. **Góc tương ứng**:
- Trong tam giác ABC cân, góc BAC = góc CAB. Do BK và CK là hai đường phân giác, ta có:
\[
\angle ABH = \angle ACK
\]
- Nghĩa là \( \angle ABH = \angle ACK \).

5. **Kết luận**:
- Ta có \( AH = AK \), \( HC = KB \), và \( \angle ABH = \angle ACK \).
- Như vậy, theo tiêu chuẩn đồng hình \( SSS \) (cạnh-cạnh-cạnh) ta suy ra rằng \( \triangle ABH \cong \triangle ACK \).

### Phần b: Chứng minh Hình thang BCHK

1. **Điều kiện để BCHK là hình thang**:
- Để kiểm tra xem BCHK có phải là hình thang hay không, ta cần kiểm tra xem liệu hai cạnh BC và HK (các cạnh đối diện trong hình thang) có song song hay không.

2. **Căn cứ vào định nghĩa hình thang**:
- Trong tam giác ABC cân tại A, tác động của hai đường phân giác BK và CK tạo ra các góc H và K:
\[
\angle HBC = \angle KCB
\]
- Do BK và CK là đường phân giác, các góc này là bằng nhau theo định nghĩa của đường phân giác trong các tam giác.

3. **Xác nhận hình thang**:
- Theo định nghĩa của hình thang, nếu một cặp cạnh đối diện (BC và HK) là song song, điều này xác nhận rằng BCHK là hình thang.
- Ta có thể kết luận rằng BCHK là hình thang nếu có một cặp cạnh đối diện song song.

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh rằng \( \triangle ABH \cong \triangle ACK \) và BCHK là hình thang.