Trong không gian với hệ trục tọa độ oxyz, cho 3 điểm M(0;1;2), N(7;3;2), P(-5;-3;2). Tìm kiếm tọa độ Q(a;b;c) thỏa mãn MN = -3QP. Tính a + 2b + c

Để tìm tọa độ điểm \( Q(a; b; c) \) thỏa mãn điều kiện \( MN = -3QP \), trước hết, chúng ta cần tính độ dài vector \( MN \) và vector \( QP \).

**Bước 1: Tính vector \( MN \)**
Điểm \( M(0;1;2) \) và \( N(7;3;2) \):
\[
\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (7 - 0; 3 - 1; 2 - 2) = (7; 2; 0)
\]
Độ dài của vector \( MN \) là:
\[
MN = \sqrt{7^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}
\]

**Bước 2: Tính vector \( QP \)**
Điểm \( Q(a; b; c) \) và \( P(-5; -3; 2) \):
\[
\vec{QP} = \vec{P} - \vec{Q} = (-5 - a; -3 - b; 2 - c)
\]

**Bước 3: Viết phương trình từ điều kiện \( MN = -3QP \)**
Theo điều kiện cho trước:
\[
MN = -3QP \implies \sqrt{53} = -3 \cdot \sqrt{(-5 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (2 - c)^2}
\]
Lưu ý: Độ dài luôn là không âm. Khi chúng ta có dấu âm trong phương trình, điều đó cho thấy không thể xảy ra trong trường hợp này. Thay vào đó, chúng ta nói rằng:
\[
MN = 3 \cdot \sqrt{(-5 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (2 - c)^2}
\]

### Bước 4: Thiết lập phương trình từ độ dài
Từ đó, ta có:
\[
\sqrt{53} = 3 \cdot \sqrt{(-5 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (2 - c)^2}
\]
Bình phương hai bên, ta có:
\[
53 = 9 \cdot \left[(-5 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (2 - c)^2\right]
\]
Hay:
\[
\frac{53}{9} = (-5 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (2 - c)^2
\]

### Bước 5: Giải phương trình
Gọi:
\[
x = -5 - a \\
y = -3 - b \\
z = 2 - c
\]
Ta có phương trình:
\[
\frac{53}{9} = x^2 + y^2 + z^2
\]

Tiếp tục [thay \( a, b, c \) bằng \( x, y, z \) để tính]:
\[
a = -5 - x, \quad b = -3 - y, \quad c = 2 - z
\]

### Bước 6: Tìm tổng \( a + 2b + c \)
Giờ đây,
\[
a + 2b + c = (-5 - x) + 2(-3 - y) + (2 - z) = -5 - x - 6 - 2y + 2 - z = -9 - x - 2y - z
\]

### Bước 7: Tính giá trị xác định
Lưu ý rằng \( x^2 + y^2 + z^2 = \frac{53}{9} \).

Các giá trị cho \( x, y, z \) có thể tìm thông qua nhiều cách khác nhau (chẳng hạn chọn số hạng nào đó), hoặc ta có thể xác định được giá trị các tổng này từ các đáp số cụ thể của từng biến.

Giả sử chọn \( y = 0 \), \( z = 0 \), \( (-5 - a)^2 = \frac{53}{9} \):
Giải:
\[
(-5 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (2 - c)^2 = \frac{53}{9}
\]

Có thể tìm ra được các giá trị cụ thể bằng cách thử các giá trị thỏa mãn điều kiện trong trường hợp đơn giản này (nếu \( a, b, c \) tham số). Sau khi có các giá trị cụ thể, công thức \( a + 2b + c \) sẽ cho ra được một kết quả.

**Kết luận**:
Giá trị cuối cùng \( a + 2b + c \) sẽ phụ thuộc vào những giá trị \( x, y, z \) cụ thể chọn để thỏa mãn phương trình \( \frac{53}{9} \) và có thể là số thực thích hợp cho các lựa chọn này.