Để chứng tỏ rằng số \( abcabc \) chia hết cho 11 và 13, trước hết ta cần hiểu dạng của số này. Giả sử \( a, b, c \) là các chữ số từ 0 đến 9, và ta có:

\[
abcabc = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c = 100100a + 10010b + 1001c
\]

Ta có thể viết lại số này như sau:

\[
abcabc = 1001(100a + 10b + c) = 1001n
\]
trong đó \( n = 100a + 10b + c \).

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra xem số \( 1001 \) có chia hết cho \( 11 \) và \( 13 \) hay không.

- Đầu tiên, ta nhận thấy rằng:
\[
1001 = 7 \times 11 \times 13
\]

Vậy, từ đó ta có thể kết luận rằng \( 1001 \) chia hết cho cả \( 11 \) và \( 13 \).

Do đó, số \( abcabc = 1001n \) cũng sẽ chia hết cho \( 11 \) và \( 13 \) cho bất kỳ giá trị nào của \( n \) (kể cả khi \( n = 100a + 10b + c \) là một số tự nhiên).

Như vậy, \( abcabc \) chia hết cho cả \( 11 \) và \( 13 \).

**Kết luận**: Số \( abcabc \) luôn chia hết cho \( 11 \) và \( 13 \) với mọi giá trị của \( a, b, c \).