Tính hợp lý: 1 + 2² + 2⁴ + ... + 2⁴⁸ + 2⁵⁰

Để tính hợp lý biểu thức \(1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{48} + 2^{50}\), chúng ta có thể nhận thấy rằng đây là một chuỗi hình học.

Đầu tiên, xác định các giá trị:

- Số hạng đầu (\(a\)) là \(1\) (tức là \(2^0\)).
- Tỉ lệ chung (\(r\)) là \(2^2 = 4\).
- Số hạng cuối là \(2^{50}\). Số hạng lớn nhất trong chuỗi của chúng ta là \(2^{50}\), và chúng ta cần tìm số hạng có dạng: \(2^{2n}\) với \(2n \leq 50\). Giá trị \(n\) lớn nhất thỏa mãn điều này là \(n = 25\).

Số lượng số hạng trong chuỗi là:

\[ n = 26 \quad (\text{số hạng từ } n = 0 \text{ đến } n = 25) \]

Áp dụng công thức tổng của một chuỗi hình học:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Trong trường hợp này:

- \(a = 1\)
- \(r = 4\)
- \(n = 26\)

Vậy:

\[
S_{26} = \frac{1(1 - 4^{26})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{26}}{-3} = \frac{4^{26} - 1}{3}
\]

Cuối cùng, ta có biểu thức tổng của chuỗi đầu vào là:

\[
S = \frac{4^{26} - 1}{3}
\]

Ghi nhớ rằng \(4^{26} = (2^2)^{26} = 2^{52}\), do đó:

\[
S = \frac{2^{52} - 1}{3}
\]

Đây là kết quả cuối cùng cho chuỗi:

\[
1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{48} + 2^{50} = \frac{2^{52} - 1}{3}
\]