Để tìm giá trị \( m \) để hàm số \( y = \frac{mx - 1}{x + m} \) đạt giá trị lớn nhất bằng 1 trên đoạn \([1, 4]\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị hàm số tại các đầu mút của đoạn**:
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = \frac{m \cdot 1 - 1}{1 + m} = \frac{m - 1}{m + 1}
\]
- Tại \( x = 4 \):
\[
y(4) = \frac{m \cdot 4 - 1}{4 + m} = \frac{4m - 1}{4 + m}
\]

2. **Tìm giá trị cực trị của hàm số**:
- Tính đạo hàm của hàm số \( y \) và tìm điểm cực trị.
\[
y' = \frac{(x + m)(m) - (mx - 1)(1)}{(x + m)^2} = \frac{mx + m^2 - mx + 1}{(x + m)^2} = \frac{m^2 + 1}{(x + m)^2}
\]
Hàm số có cực trị khi \( y' = 0 \) nhưng hàm này luôn dương với \( m^2 + 1 > 0 \). Do đó, hàm số luôn đồng biến trên \( [1, 4] \) và có giá trị lớn nhất tại \( x = 4 \).

3. **Lập phương trình tìm \( m \)**:
Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại \( x = 4 \):
\[
y(4) = 1
\]
\[
\frac{4m - 1}{4 + m} = 1
\]

4. **Giải phương trình**:
Giải phương trình:
\[
4m - 1 = 4 + m
\]
\[
4m - m = 5 \implies 3m = 5 \implies m = \frac{5}{3}
\]

Vậy giá trị \( m \) là \( \frac{5}{3} \) để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 trên đoạn \([1, 4]\).