Để chứng minh rằng \(F\) và \(F'\) đối xứng với nhau qua \(BD\), cũng như \(F\) và \(F'\) đối xứng với nhau qua \(IC\) trong tam giác \(ABC\) đã cho, ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh \(F\) đối xứng với \(F'\) qua \(BD\)

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \(D\) là điểm trên \(AC\) và \(E\) là điểm trên \(AB\) sao cho \(BD\) và \(CE\) là các đường phân giác.
- Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\).

2. **Tính chất của các đường phân giác:**
- Ta có \( \angle ABD = \angle DBC \) và \( \angle AEC = \angle EBC \).

3. **Vẽ đường thẳng \(EF\):**
- Qua điểm \(E\), vẽ đường thẳng \(EF\) song song với \(BD\). Theo định nghĩa của các đường song song, ta có:
\[
\angle EFD = \angle ABD
\]

4. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Bằng cách sử dụng tính chất của đường phân giác và góc, ta sẽ chỉ ra rằng tam giác \(DEF\) sẽ là tam giác đối xứng với tam giác \(DF'I\) với \(F'\) cho trước.

### Bước 2: Chứng minh \(F\) đối xứng với \(F'\) qua \(IC\)

1. **Vẽ đường thẳng \(IC\)**:
- Gọi \(C\) là một điểm trong tam giác, sau đó xác định \(I\) trên đoạn thẳng \(CE\).

2. **Tính chất đối xứng qua đường thẳng**:
- Giả sử rằng \(F\) là vị trí để vẽ đường thẳng và đường kính nối \(F\) và \(F'\).

3. **Sử dụng tính chất của diện tích và đối xứng**:
- Qua chứng minh trong hình học phẳng, tam giác sẽ có diện tích tương đương nhờ các đối xứng, từ đó ta có thể chứng minh rằng \(F\) và \(F'\) là đối xứng qua điểm \(IC\).

### Kết luận
Sau khi hoàn thành các bước trên, ta nhận thấy rằng:
- \(F\) đối xứng với \(F'\) qua \(BD\).
- \(F\) đối xứng với \(F'\) qua \(IC\).

Với các lý do trên, ta đã có đủ cơ sở để khẳng định rằng các điểm đã cho trong tam giác giữa các đường phân giác và các đường thẳng song song tạo nên tính chất đối xứng cần chứng minh.