Chứng minh rằng: ∀n ∈ ℕ các số sau không là số chính phương

Để chứng minh rằng các biểu thức \(n^2 + 7n + 10\) và \(4n^2 + 5n + 2\) không phải là số chính phương với mọi \(n \in \mathbb{N}\), ta làm như sau:

### a) Chứng minh rằng \(n^2 + 7n + 10\) không phải là số chính phương.

Ta giả sử \(n^2 + 7n + 10 = k^2\) (với \(k \in \mathbb{N}\)). Ta chuyển đổi phương trình này thành:

\[
n^2 + 7n + 10 - k^2 = 0
\]

Để \(n\) có nghiệm nguyên, định thức của phương trình bậc hai này phải là một số chính phương. Định thức \(D\) được tính như sau:

\[
D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10 - k^2) = 49 - 40 + 4k^2 = 9 + 4k^2
\]

Vì \(D\) phải là một số chính phương, giả sử \(D = m^2\) (với \(m \in \mathbb{N}\)), ta có:

\[
m^2 - 4k^2 = 9 \implies (m - 2k)(m + 2k) = 9
\]

Các cặp số nguyên dương có tích là 9 là: \((1, 9)\), \((3, 3)\), \((9, 1)\). Giải từng cặp:

1. **Cặp \((1, 9)\)**:
\[
m - 2k = 1, \quad m + 2k = 9 \implies m = 5, \quad 4k = 8 \implies k = 2
\]

2. **Cặp \((3, 3)\)**:
\[
m - 2k = 3, \quad m + 2k = 3 \implies m = 3, \quad 4k = 0 \implies k = 0
\]

3. **Cặp \((9, 1)\)**:
\[
m - 2k = 9, \quad m + 2k = 1 \implies \text{không có nghiệm nguyên.}
\]

Với \(k = 0\) và \(k = 2\), ta thử với các giá trị của \(n\):

- Với \(k = 2\), \(n^2 + 7n + 10 = 4 \Rightarrow n^2 + 7n + 6 = 0\) có nghiệm \(n = -3, -2\) (không hợp lệ).
- Với \(k = 0\), \(n^2 + 7n + 10 = 0\) không có nghiệm hợp lệ.

Vì vậy, không thể có \(k\) sao cho \(n^2 + 7n + 10\) là số chính phương với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

### b) Chứng minh rằng \(4n^2 + 5n + 2\) không phải là số chính phương.

Giả sử \(4n^2 + 5n + 2 = k^2\), ta chuyển về dạng:

\[
4n^2 + 5n + (2 - k^2) = 0
\]

Tính định thức \(D\):

\[
D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (2 - k^2) = 25 - 16(2 - k^2) = 25 - 32 + 16k^2 = 16k^2 - 7
\]

Để có nghiệm nguyên, \(16k^2 - 7\) phải là một số chính phương. Giả sử \(16k^2 - 7 = m^2\):

\[
16k^2 - m^2 = 7 \implies (4k - m)(4k + m) = 7
\]

Giải cặp tích \(7\):

1. **Cặp \((1, 7)\)**:
\[
4k - m = 1, \quad 4k + m = 7 \implies 8k = 8 \implies k = 1, \quad m = 3.
\]

2. **Cặp \((7, 1)\)**:
\[
4k - m = 7, \quad 4k + m = 1 \implies \text{không có nghiệm hợp lệ.}
\]

Với \(k = 1\), ta thử kiểm tra \(4n^2 + 5n + 2 = 1\):

\[
4n^2 + 5n + 1 = 0
\]

Có định thức:

\[
D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9,
\]

\[
n = \frac{-5 \pm 3}{8} \Rightarrow n = -\frac{1}{4}, -1 \text{ (không hợp lệ)}.
\]

Từ đó, không tồn tại \(k\) mà sao cho \(4n^2 + 5n + 2\) là số chính phương với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

### Kết luận
Cả hai biểu thức \(n^2 + 7n + 10\) và \(4n^2 + 5n + 2\) không phải là số chính phương với mọi \(n \in \mathbb{N}\).