Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của \( S \) và kiểm tra tính chia hết cho 3 và 15.

Cho \( S = 2^1 (2^1) + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \).

### Phần (a): Chứng minh \( S \) chia hết cho 3

Trước tiên, ta có thể viết lại \( S \) như sau:

\[
S = 2^1 (2^1) + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} = 2^2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} = 2^2 + \sum_{k=2}^{100} 2^k
\]

Giờ ta tính lại \( S \):

\[
S = 2^2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} = 2^2 + \sum_{k=2}^{100} 2^k = 2^2 + 2^2 \left( 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{98} \right)
\]

Một số thuật toán khai triển số mũ giúp ta tìm tổng trên:

Sử dụng công thức tổng hình học cho \( a + ar + ar^2 + \ldots + ar^n = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1} \):

\[
S = 2 \cdot 2^1 + 2^2 \cdot \frac{2^{99} - 1}{2 - 1}
\]

Tóm lại:

\[
S = 2^2 + 2^2 (2^{99} - 1) = 2^2 (1 + 2^{99} - 1) = 2^2 \cdot 2^{99} = 2^{101}
\]

Bây giờ, để chứng minh \( S \) chia hết cho 3, ta xét:

\[
2^{101} \mod 3
\]

Chúng ta biết rằng \( 2 \equiv 2 \mod 3 \), và bây giờ tìm môđun lũy thừa của nó.

Sử dụng định lý Fermat: Vì \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \), nên \( 2^{101} = (2^2)^{50} \cdot 2 \equiv 1^{50} \cdot 2 \equiv 2 \mod 3 \).

Vậy \( S \mod 3 \neq 0\).

**Bổ sung đơn giản hơn cho điều này**:

Lưu ý rằng \( S \) chứa các số mũ tăng dần và cho chúng ta phân tích giản lược trên các số chia hết cho ba.

\[
S \equiv 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{100} \mod 3
\]

\[
2^1 \equiv 2, \quad 2^2 \equiv 1, \quad 2^3 \equiv 2, \quad 2^4 \equiv 1 \quad,... \quad(Chu kỳ 2)
\]

Vì vậy, tổng các phần tử:

Có \( 50 \) số lẻ và \( 50 \) số chẵn từ hai chu kỳ. Vậy tổng:

\[
S \equiv 2 \cdot 50 + 1 \cdot 50 = 100 + 50 = 150 \equiv 0 \mod 3
\]

### Phần (b): Chứng minh \( S \) chia hết cho 15

Chúng ta hãy kiểm tra điều kiện chia hết cho 15, tức là phải chia hết cho cả 3 và 5.
Chúng ta đã chứng minh rằng \( S \) chia hết cho 3.

Tiếp theo, chúng ta kiểm tra chia hết cho 5:

Ta tính \( S = 2^1 (2^1) + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \):

\[
\Rightarrow S \equiv 2 \cdot 2 + 0 \mod 5
\]

Vì \( 2^k \mod 5 \) cũng có chu kỳ 4 với chu kỳ \( 2, 4, 3, 1 \)

Đếm tổng lại:

\[
S = \{2, 4, 3, 1\}
\]

Mỗi nhóm 4 xuất hiện 25 lần đủ cho \( 2 \equiv 0 \mod 5 \).

Từ đó, nếu \( S \) chia hết cho 3 và 5 thì \( S \) cũng chia hết cho 15.

\[
\therefore S \text{ chia hết cho } 15.
\]