Cho tứ giác ABCD và điểm M bất kỳ trong mặt phẳng. Gọi X, Y, Z, T lần lượt là điểm đối xứng với M qua trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác XYZT là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác XYZT là hình bình hành, ta làm như sau:

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Gọi \( D_1, D_2, D_3, D_4 \) lần lượt là trung điểm của cạnh \( AB, BC, CD, DA \).
- Từ điểm \( M \), điểm \( X \) là điểm đối xứng với \( M \) qua \( D_1 \),
- Tương tự, \( Y \) qua \( D_2 \), \( Z \) qua \( D_3 \), và \( T \) qua \( D_4 \).

2. **Tính tọa độ (hoặc vector)**:
- Giả sử tọa độ của các điểm:
- \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \), \( M(x_m, y_m) \).
- Tọa độ của các trung điểm:
- \( D_1 \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \),
- \( D_2 \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right) \),
- \( D_3 \left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}\right) \),
- \( D_4 \left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}\right) \).

3. **Tính tọa độ điểm đối xứng**:
- Tọa độ của \( X \):
\[
X = \left(2\cdot\frac{x_1+x_2}{2} - x_m, 2\cdot\frac{y_1+y_2}{2} - y_m\right) = \left(x_1 + x_2 - x_m, y_1 + y_2 - y_m\right)
\]
- Tương tự cho \( Y, Z, T \).

4. **Chứng minh XY || ZT và XZ || YT**:
- Xét đoạn thẳng \( XY \):
- Vector \( \overrightarrow{XY} = Y - X \)
- Xét đoạn thẳng \( ZT \):
- Vector \( \overrightarrow{ZT} = T - Z \)
- Tương tự với các đoạn còn lại.

5. **Kết luận**:
- Nếu \( \overrightarrow{XY} \) // \( \overrightarrow{ZT} \) và \( \overrightarrow{XZ} \) // \( \overrightarrow{YT} \), thì tứ giác \( XYZT \) là hình bình hành.

Từ đó, ta đã hoàn thành chứng minh rằng tứ giác \( XYZT \) là hình bình hành.