Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : (n^2 -3n +1)x(n+2)-n^3 +2 chia hết cho 5

Để chứng minh rằng với mọi số nguyên \( n \), biểu thức

\[
(n^2 - 3n + 1)(n + 2) - n^3 + 2
\]

chia hết cho 5, chúng ta sẽ xem xét biểu thức này dưới modulo 5.

Cách tiếp cận của chúng ta là kiểm tra các giá trị của \( n \) modulo 5, tức là cần kiểm tra các trường hợp \( n = 0, 1, 2, 3, 4 \).

1. **Khi \( n \equiv 0 \) (mod 5)**:
\[
n^2 - 3n + 1 = 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1
\]
\[
n + 2 = 0 + 2 = 2
\]
\[
n^3 + 2 = 0^3 + 2 = 2
\]
Vậy biểu thức trở thành:
\[
(1)(2) - 2 = 2 - 2 = 0 \equiv 0 \, (\text{mod } 5)
\]

2. **Khi \( n \equiv 1 \) (mod 5)**:
\[
n^2 - 3n + 1 = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \equiv 4 \, (\text{mod } 5)
\]
\[
n + 2 = 1 + 2 = 3
\]
\[
n^3 + 2 = 1^3 + 2 = 1 + 2 = 3
\]
Vậy biểu thức trở thành:
\[
(4)(3) - 3 = 12 - 3 = 9 \equiv 4 \, (\text{mod } 5)
\]

3. **Khi \( n \equiv 2 \) (mod 5)**:
\[
n^2 - 3n + 1 = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 \equiv 4 \, (\text{mod } 5)
\]
\[
n + 2 = 2 + 2 = 4
\]
\[
n^3 + 2 = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10 \equiv 0 \, (\text{mod } 5)
\]
Vậy biểu thức trở thành:
\[
(4)(4) - 0 = 16 - 0 = 16 \equiv 1 \, (\text{mod } 5)
\]

4. **Khi \( n \equiv 3 \) (mod 5)**:
\[
n^2 - 3n + 1 = 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 = 9 - 9 + 1 = 1
\]
\[
n + 2 = 3 + 2 = 5 \equiv 0 \, (\text{mod } 5)
\]
\[
n^3 + 2 = 3^3 + 2 = 27 + 2 = 29 \equiv 4 \, (\text{mod } 5)
\]
Vậy biểu thức trở thành:
\[
(1)(0) - 4 = 0 - 4 \equiv 1 \, (\text{mod } 5)
\]

5. **Khi \( n \equiv 4 \) (mod 5)**:
\[
n^2 - 3n + 1 = 4^2 - 3 \cdot 4 + 1 = 16 - 12 + 1 = 5 \equiv 0 \, (\text{mod } 5)
\]
\[
n + 2 = 4 + 2 = 6 \equiv 1 \, (\text{mod } 5)
\]
\[
n^3 + 2 = 4^3 + 2 = 64 + 2 = 66 \equiv 1 \, (\text{mod } 5)
\]
Vậy biểu thức trở thành:
\[
(0)(1) - 1 = 0 - 1 \equiv 4 \, (\text{mod } 5)
\]

Sau khi kiểm tra tất cả các trường hợp \( n \) modulo 5, chúng ta thấy rằng biểu thức không chia hết cho 5 ở nhiều trường hợp (chẳng hạn \( n \equiv 1, 2, 3, 4 \)). Vậy nên có thể xét lại các trường hợp mà có vẻ có vấn đề trong việc chia chọn và coi chừng phép toán.

Từ đường hướng chi tiết và các giá trị thử nghiệm, biểu thức có vẻ không liên tục có giá trị 0 modulo 5 cho mọi \( n \), và điều này cũng chỉ ra rằng chưa thể nói biểu thức này chia hết cho 5 với mọi \( n \). Bởi vì trong một số trường hợp không cho kết quả 0.

Vậy cần chỉnh sửa hoặc phân tích lại cấp độ của độ chính xác các ý tưởng trên.