Để giải bất phương trình đã cho, ta sẽ giải từng bất phương trình một.

### Bất phương trình 1:
\[
3x + 8 > 9(3x - 6)
\]

Trước tiên, ta phân phối 9 vào cụm \((3x - 6)\):
\[
3x + 8 > 27x - 54
\]

Chuyển các số hạng chứa \(x\) về một bên và các số hạng tự do về bên kia:
\[
3x - 27x > -54 - 8
\]
\[
-24x > -62
\]

Chia hai phía cho -24 và đổi chiều dấu bất phương trình:
\[
x < \frac{62}{24} = \frac{31}{12}
\]

### Bất phương trình 2:
\[
5x - 4 \leq 2(3x - 6)
\]

Phân phối 2 vào \((3x - 6)\):
\[
5x - 4 \leq 6x - 12
\]

Chuyển các số hạng chứa \(x\) về một bên và số hạng tự do về bên kia:
\[
5x - 6x \leq -12 + 4
\]
\[
-x \leq -8
\]

Chia cả hai phía cho -1 và đổi chiều dấu bất phương trình:
\[
x \geq 8
\]

### Kết hợp kết quả:
Ta có hai điều kiện:
1. \(x < \frac{31}{12}\)
2. \(x \geq 8\)

Do \(\frac{31}{12} \approx 2.58\) và \(8 > 2.58\), không có giá trị nào thoả mãn cả hai bất phương trình cùng lúc.

### Kết luận:
Hệ bất phương trình không có nghiệm.