Cho \(\triangle ABC\) vuông cân tại A. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BI tại K. (Hình 14)

Để giải bài toán hình học này, ta thực hiện theo từng yêu cầu đã đưa ra.

### a) Chứng minh tứ giác EKFC là hình bình hành.

- **Các bước chứng minh**:
1. Vẽ hình: Ta có hình vẽ của tam giác vuông cân \(ABC\) với \(A\) ở gốc vuông. Điểm \(E\) nằm trên đoạn \(AB\), và \(F\) nằm trên tia đối của \(CA\).
2. Xuất phát từ \(BE = CF\) và hai đoạn thẳng \(EF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(I\).
3. Ta cần chứng minh rằng \(EK = FC\) và \(EF = KC\).

- **Chứng minh**:
- Vì \(BE = CF\), điểm \(F\) trên tia đối của \(CA\) sẽ tạo thành đoạn thẳng \(EF\) song song với \(BC\) (do \(AB\) vuông góc với \(AC\)).
- Do đó, \(EK \parallel FC\) và \(EF \parallel KC\), suy ra \(EKFC\) là hình bình hành.

### b) Qua \(I\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AF\) cắt \(BD\) tại \(M\). Chứng minh \(AI = BM\).

- **Các bước chứng minh**:
1. Kẻ đường thẳng từ \(I\) vuông góc với \(AF\) và cắt \(BD\) tại \(M\).
2. Tạo ra các tam giác \(AIF\) và \(BIM\).

- **Chứng minh**:
- Do hai tam giác vuông \(AIF\) và \(BIM\) có chung góc vuông tại điểm \(I\).
- Từ tính đối xứng của hình bình hành\(BEFD\), suy ra \(\triangle AI = \triangle BM\), khi đó \(AI = BM\).

### c) Tìm vị trí của \(E\) trên \(AB\) để \(A\), \(I\), \(D\) thẳng hàng.

- **Các bước tìm**:
1. Để ba điểm \(A\), \(I\), \(D\) thẳng hàng, ta cần đảm bảo rằng điểm \(I\) nằm trên đường thẳng \(AD\).
2. Xác định vị trí điểm \(E\) sao cho \(I\) luôn nằm trên đoạn thẳng do điểm \(A\) và \(D\) tạo thành.

- **Giải pháp**:
- Sử dụng tỉ lệ độ dài hoặc tính chất đường trung đoạn trong tam giác, nếu điều chỉnh vị trí của \(E\) sao cho các đoạn thẳng tỷ lệ với nhau thì sẽ đạt được yêu cầu \(A\), \(I\), \(D\) thẳng hàng.

Hy vọng các bước giải thích chi tiết và rõ ràng giúp bạn trong việc làm bài tập này!