Cho tứ giác ABCD có O là trung điểm của AC. Trên tia BO lấy điểm D sao cho OD = OB. (Hình 13)

Để chứng minh tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành, ta có thể làm như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành

1. **Đặt điểm**:
- Giả sử tọa độ của các điểm \( A, B, C, D \) lần lượt là \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \).

2. **Tìm tọa độ điểm O**:
- Vì \( O \) là trung điểm của \( AC \), nên:
\[
O\left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
\]

3. **Xác định tọa độ điểm D**:
- Đặt \( D \) có tọa độ \( D(x_D, y_D) \) sao cho đoạn \( OD \) bằng đoạn \( OB \). Do \( OD = OB \), ta có:
\[
OD^2 = OB^2
\]

4. **Chứng minh \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \)**:
- Cần chỉ ra rằng trọng tâm đối diện bằng nhau:
\[
AB \parallel DC \quad \text{và} \quad AD \parallel BC
\]

### b) Trên cạnh \( BC \) lấy các điểm \( M, N \)

1. **Lấy điểm \( M \) và \( N \)** sao cho \( BM = MN = NC \).
2. **Tia \( NO \)** cắt \( AD \) và \( AB \) lần lượt tại \( I \) và \( K \).

### Chứng minh \( AI = NC \) và \( AM \perp IN \)

1. **Sử dụng định nghĩa về hình bình hành**:
- Với \( BM = MN = NC \), ta thấy rằng \( M \) và \( N \) chia đoạn \( BC \) thành 3 phần bằng nhau.

2. **Chứng minh**:
- Sử dụng định nghĩa của trung điểm và tỷ lệ để chỉ ra rằng các đoạn thẳng \( AI \) và \( NC \) tương đương nhau khi kẻ tia \( NO \).
- Cuối cùng, để chứng minh \( AM \perp IN \), ta có thể sử dụng tính chất của các đường chéo trong hình bình hành.

Bằng cách này, bạn có thể hoàn thành bài toán và chứng minh rằng tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành. Bạn có thể hoàn thiện từng bước với các tính toán chi tiết hơn về tọa độ và độ dài đoạn thẳng.