Cho tứ giác ABC vuông cạnh tại A. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BI tại K. (Hình 14)

Để giải quyết bài toán này, ta thực hiện từng yêu cầu một:

### a) Chứng minh tứ giác EKFC là hình bình hành.

1. **Thông tin về tứ giác EKFC:**
- **EF** cắt **BC** tại **I**.
- **E** và **F** được xác định từ các điểm **B** và **C** theo các quy tắc cho trước.

2. **Chứng minh hai cặp cạnh đối nhau bằng nhau:**
- Ta có **BE = CF** (theo đề bài).
- **EK** và **FC** là hai cạnh còn lại của tứ giác, và được chứng minh bằng cách chỉ ra rằng **K** nằm trên **BI**, là đường thẳng qua **E** vuông góc với **AB**.

3. **Chứng minh EK // FC:**
- Vì **K** được xác định làm điểm vuông góc từ **E** xuống **BI**, và **F** cũng là điểm nằm trên cạnh **BC**.
- Cùng một góc mà **EF** có với **AB** thể hiện sự song song của **EK** và **FC**.

4. **Kết luận:**
- Từ các chứng minh trên, ta có hai cặp cạnh đối nhau bằng nhau và song song, do đó, **EKFC** là hình bình hành.

### b) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt BD tại M.

- **Kẻ đường thẳng:** Từ điểm **E**, khe đường thẳng vuông góc với **AF**. Gọi điểm cắt của đường thẳng này với đường thẳng **BD** là **M**.
- **Chứng minh:**
- Sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các tương quan về góc để chứng minh rằng **EM** vuông góc với **AF**.
- Do **AF** cắt **BD** ở **M**, ta có thể kết luận vị trí của **M** là thỏa mãn yêu cầu.

### c) Tìm vị trí của E trên AB để A, I, D thẳng hàng.

1. **Hình dạng thẳng hàng:** A, I, D thẳng hàng có nghĩa là điểm I nằm giữa A và D.
2. **Điều kiện thẳng hàng:**
- Để A, I, D thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được chia cho nhau là đồng dạng.
- Sử dụng kiến thức về hình học và vị trí của các điểm nhận định tại nhau để xác định điểm E cần thiết trên đoạn thẳng AB.

### Kết luận tổng quát:

Bằng cách áp dụng kiến thức về các tính chất hình học của hình bình hành và các quy tắc liên quan đến đường chéo, vuông góc, bạn có thể giải quyết vấn đề này một cách chính xác và rõ ràng.