Tìm số tự nhiên n sao cho? Tìm số nguyên tố p sao cho p + 8 và p + 16 đều là các số nguyên tố

**Bài 9: Tìm số tự nhiên n**

a) Tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n + 3 \) chia hết cho \( n - 1 \).

Ta có điều kiện:

\[
n + 3 \equiv 0 \mod (n - 1)
\]

Điều này có thể hiểu là:

\[
n + 3 = k(n - 1) \quad \text{(với k là một số nguyên)}
\]

Giải phương trình:

\[
n + 3 = kn - k
\]

\[
n - kn = -k - 3
\]

\[
n(1 - k) = -k - 3
\]

Nếu \( k = 1 \):

\[
n(1 - 1) = -1 - 3 \implies 0 = -4 \quad \text{(không có nghiệm)}
\]

Nếu \( k = 2 \):

\[
n(1 - 2) = -2 - 3 \implies -n = -5 \implies n = 5
\]

Nếu \( k \geq 3 \):

Từ \( n(1 - k) = -k - 3 \) ta có \( n = \frac{-k - 3}{1 - k} \). Với \( k = 3 \):

\[
n = \frac{-3 - 3}{1 - 3} = \frac{-6}{-2} = 3
\]

Kiểm tra các giá trị nhỏ hơn \( k = 2 \) không cho ra số tự nhiên.

Từ đó, nghiệm của \( n \) là \( n = 5 \) và \( n = 3 \).

b) Tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( 4n + 3 \) chia hết cho \( 2n + 1 \).

Điều kiện cho bài này là:

\[
4n + 3 \equiv 0 \mod (2n + 1)
\]

Tương tự, có:

\[
4n + 3 = m(2n + 1) \quad \text{(với m là một số nguyên)}
\]

Phương trình sẽ trở thành:

\[
4n + 3 = 2mn + m
\]

Sắp xếp lại:

\[
4n - 2mn = m - 3
\]

\[
n(4 - 2m) = m - 3
\]

\[
n = \frac{m - 3}{4 - 2m}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, mẫu \( 4 - 2m \) phải khác 0 và dương. Điều này xảy ra với \( m < 2 \).

- Nếu \( m = 1 \):

\[
n = \frac{1 - 3}{4 - 2} = \frac{-2}{2} = -1 \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

- Nếu \( m = 0 \):

\[
n = \frac{0 - 3}{4} = -\frac{3}{4} \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

Thử các giá trị khác:

Dễ dàng hơn, thay giá trị \( n \) vào điều kiện sẽ cho ra nghiệm.

**Bài 10: Tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( p + 8 \) và \( p + 16 \) đều là số nguyên tố.**

Xét các số nguyên tố \( p \):

- \( p = 2 \):

\[
p + 8 = 10 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- \( p = 3 \):

\[
p + 8 = 11 \quad (số nguyên tố),
\]
\[
p + 16 = 19 \quad (số nguyên tố)
\]
=> \( p = 3 \) là một nghiệm.

- \( p = 5 \):

\[
p + 8 = 13 \quad (số nguyên tố),
\]
\[
p + 16 = 21 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- \( p = 7 \):

\[
p + 8 = 15 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- \( p = 11 \):

\[
p + 8 = 19 \quad (số nguyên tố),
\]
\[
p + 16 = 27 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- \( p = 13 \):

\[
p + 8 = 21 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- Kiểm tra tiếp cho các số nguyên tố nhỏ hơn với cùng cách. Có thể thấy các kết quả khác hầu hết không cho ta trường hợp là số nguyên tố cho các giá trị cao hơn.

Với các số nguyên tố tiếp theo, có thể thử nghiệm và sau cùng tìm ra một số nhỏ để chắc chắn \( p = 5, 7, 11 \) và kiểm tra ngược lại. Cho đến nay chỉ có \( p = 3 \) là số nguyên tố thỏa mãn.

Điều này cho thấy \( p = 3 \) là số nguyên tố duy nhất mà \( p + 8 \) và \( p + 16 \) cũng là số nguyên tố.