Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\):

### a) Chứng minh \(OA = OB = OC = OD\)

1. **Hình thang cân** có các cạnh bên bằng nhau: \(AD = BC\).
2. Với giao điểm \(O\) của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), theo tính chất của hình thang cân, ta có:
- Hai tam giác \(AOD\) và \(BOC\) là hai tam giác đối xứng qua đường trung trực của cạnh \(AB\) (vì \(AD = BC\)).
- Do đó, \(OA = OB\) và \(OC = OD\).
3. Mà \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, ta có:
- Từ tính chất các đoạn được chia trong tam giác đối xứng, ta có \(OA = OC\) và \(OB = OD\).
4. Kết hợp lại, ta suy ra \(OA = OB = OC = OD\).

### b) Chứng minh rằng \(EO\) là đường trung trực của hai đáy hình thang \(ABCD\)

1. **Điểm \(E\)** là giao điểm của hai đường thẳng chứa các cạnh bên \(AD\) và \(BC\).
2. Vì \(AB \parallel CD\), góc \(ABE = CDE\) và góc \(BAE = DCE\) (đặc tính của các góc so le trong hình thang).
3. Ta có thể nói rằng, do \(OA = OB = OC = OD\) và \(E\) nằm trên đường thẳng nối hai cạnh bên, nên đoạn thẳng \(EO\) sẽ bisect (chia đôi) cả hai cạnh \(AB\) và \(CD\).
4. Do đó, đường thẳng \(EO\) sẽ là đường trung trực của hai đáy \(AB\) và \(CD\).

Kết luận:
- Từ các lý lẽ trên, ta đã chứng minh hai yêu cầu:
- \(OA = OB = OC = OD\)
- \(EO\) là đường trung trực của hai đáy hình thang \(ABCD\).