Cho tứ giác ABCD; MNPQ lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

Để phân tích các điều kiện của tứ giác ABCD cho MNPQ là hình thoi, hình chữ nhật, và hình vuông, ta sẽ sử dụng các tính chất về cạnh và góc của các tứ giác.

### a. Để MNPQ là hình thoi:
Một tứ giác MNPQ sẽ là hình thoi nếu và chỉ nếu bốn cạnh MN, NP, PQ, MQ đều bằng nhau, tức là:
- MN = NP = PQ = MQ.

Vì M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh đối diện trong tứ giác ABCD, đây là các điều kiện cần có:
1. Tứ giác ABCD cần phải có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau (AB // CD và BC // DA).
2. Hai đường chéo AC và BD phải cắt nhau tại điểm chính giữa và vuông góc với nhau (AC ⊥ BD).

### b. Để MNPQ là hình chữ nhật:
Một tứ giác MNPQ sẽ là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu các góc tại các đỉnh của nó là góc vuông, tức là:
- MNPQ có bốn góc vuông.

Điều kiện cần có cho tứ giác ABCD là:
1. Hai cặp cạnh đối diện phải song song (AB // CD và BC // DA).
2. Hai đường chéo AC và BD phải cắt nhau tại điểm chính giữa (AC giao nhau tại O và BD giao nhau tại O làm O là trung điểm của AC và BD).

### c. Để MNPQ là hình vuông:
Một tứ giác sẽ là hình vuông nếu nó thỏa mãn cả hai điều kiện trên, tức là vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Cụ thể:
1. Phải có bốn cạnh bằng nhau (MN = NP = PQ = MQ).
2. Có bốn góc vuông.

Từ đó, tứ giác ABCD cần phải thỏa mãn:
1. Là hình chữ nhật (có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau).
2. Cạnh ABCD phải có độ dài bằng nhau cho các cạnh (AB = BC = CD = DA).

Tóm lại, các điều kiện cho tứ giác ABCD tương ứng với các yêu cầu trên bao gồm tính chất song song và bằng nhau của các cạnh đối diện cũng như góc giữa các cạnh và tính chất trung điểm của các cạnh trong tứ giác.