Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 9 cm, AC=12

Để giải bài toán, ta bắt đầu với phần a:

### a. Tính cạnh BC, góc B và góc C

Ở tam giác vuông tại A, ta có:
- \( AB = 9 \, \text{cm} \)
- \( AC = 12 \, \text{cm} \)

Sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
\]
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}
\]

Để tính góc B và góc C, ta có:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]
Vậy góc B:
\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)
\]

Tương tự cho góc C:
\[
\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]
Góc C:
\[
C = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)
\]

### b. Tính DC và DB

Kẻ phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D. Theo định lý phân giác, ta có tỷ lệ:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

Gọi \( BD = 3x \) và \( DC = 4x \). Ta có:
\[
BD + DC = BC \quad \Rightarrow \quad 3x + 4x = 15
\]
\[
7x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{15}{7}
\]

Vậy:
\[
BD = 3x = 3 \cdot \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43 \, \text{cm}
\]
\[
DC = 4x = 4 \cdot \frac{15}{7} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \, \text{cm}
\]

### c. Tứ giác ADEF

Kẻ DE vuông góc với AC và DF vuông góc với AD. Ta phân tích tứ giác ADEF:

- DE vuông góc với AC, nghĩa là DE song song với AB.
- DF vuông góc với AD, nghĩa là DF song song với AC.

Như vậy, tứ giác ADEF là hình chữ nhật, vì có 2 cặp cạnh song song và các góc vuông.

#### Tính chu vi tứ giác ADEF

Để tính chu vi hình chữ nhật ADEF, ta cần tính chiều dài các cạnh AD và DE.

Vì DE song song với AB và DF song song với AC, chiều dài DE bằng chiều dài AB và chiều dài DF bằng chiều dài AC:
\[
AD = AC = 12 \, \text{cm}
\]
\[
DE = AB = 9 \, \text{cm}
\]

Chu vi tứ giác ADEF là:
\[
P = AD + DF + DE + AE = 12 + 9 + 9 + 12 = 42 \, \text{cm}
\]

Tóm lại:
- BC = 15 cm
- \( B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \), \( C = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
- \( BD \approx 6.43 \, \text{cm} \), \( DC \approx 8.57 \, \text{cm} \)
- Tứ giác ADEF là hình chữ nhật, chu vi \( P = 42 \, \text{cm} \).