Cho ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của AC, trên tia đối của tia DH lấy điểm E sao cho DE = DH. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật, ta làm như sau:

1. **Nghiệm vụ của D và E**:
- Gọi D là trung điểm của AC, do đó \( AD = DC \).
- Gọi E là điểm trên tia đối của tia DH sao cho DE = DH.

2. **Tính chất của AH**:
- AH là đường cao từ A xuống cạnh BC, tức là AH vuông góc với BC.

3. **Chứng minh AC // EH**:
- Vì D là trung điểm của AC, và DE = DH, suy ra \( DH = DE \) và D nằm giữa A và E. Do E nằm trên tia đối của DH, tám dưới chiều dài của đường cao AH, ta có:
\[
AH \perp AC
\]
- Từ đây, có thể khẳng định rằng AC song song với EH.

4. **Chứng minh các đoạn EH và AC đều có bằng nhau**:
- Sử dụng độ dài của AH với định lý Pytago để tính độ dài các cạnh EH và AC.
- Đoạn EH cũng song song và bằng độ dài của đoạn AC do tính chất hình chữ nhật.

5. **Chứng minh các góc**:
- Ta có thể chứng minh rằng góc AHE = góc AHC = 90°.
- Do đó, ba góc của tứ giác AHCE mỗi góc bằng 90°.

6. **Từ đó, kết luận**:
- Tứ giác AHCE có 4 góc vuông và các cạnh đối song song với nhau, nên nó là một hình chữ nhật.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.