Một nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu được 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu được 4 triệu đồng

Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập một mô hình tối ưu hóa với các biến, ràng buộc, và mục tiêu cụ thể.

Gọi \( x \) là diện tích trồng dứa (ha) và \( y \) là diện tích trồng củ đậu (ha).

**Ràng buộc:**
1. Diện tích tổng không vượt quá 8 ha:
\[
x + y \leq 8
\]

2. Tổng số công không vượt quá 180 công:
\[
20x + 30y \leq 180
\]

**Mục tiêu:**
Chúng ta muốn tối đa hóa lợi nhuận. Lợi nhuận thu được từ dứa là 3 triệu đồng/ha và từ củ đậu là 4 triệu đồng/ha, do đó hàm lợi nhuận được thiết lập như sau:
\[
Z = 3x + 4y
\]

Giờ đây, chúng ta có bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu và ràng buộc như sau:
\[
\text{Maximize } Z = 3x + 4y
\]
\[
\text{subject to:}
\]
\[
x + y \leq 8
\]
\[
20x + 30y \leq 180
\]
\[
x \geq 0, \; y \geq 0
\]

**Bước 1: Giải hệ bất đẳng thức:**

1. Từ ràng buộc \( x + y \leq 8 \):
- Khi \( x = 0 \), \( y = 8 \)
- Khi \( y = 0 \), \( x = 8 \)

2. Ràng buộc \( 20x + 30y \leq 180 \) có thể được quy đổi:
- Chia hết cả hai vế cho 10:
\[
2x + 3y \leq 18
\]
- Khi \( x = 0 \), \( y = 6 \)
- Khi \( y = 0 \), \( x = 9 \) (không hợp lệ vì \( x + y \) phải ≤ 8)

**Bước 2: Vẽ đồ thị và tìm nghiệm:**

Chúng ta sẽ vẽ các đường phân cách:
1. Đường \( x + y = 8 \)
2. Đường \( 2x + 3y = 18 \)

Tìm giao điểm của các đường này:
1. Giải hệ phương trình:
\[
y = 8 - x \quad \text{(1)}
\]
\[
2x + 3(8 - x) = 18
\]
\[
2x + 24 - 3x = 18 \Rightarrow -x + 24 = 18
\]
\[
x = 6 \Rightarrow y = 8 - 6 = 2
\]

Vậy giao điểm là \( (6, 2) \).

Tiếp theo, chúng ta có các điểm khả thi:
- \( (0, 6) \)
- \( (6, 2) \)
- \( (8, 0) \)

**Bước 3: Tính giá trị \( Z \) tại các điểm:**
- Tại \( (0, 6): Z = 3(0) + 4(6) = 24 \)
- Tại \( (6, 2): Z = 3(6) + 4(2) = 18 + 8 = 26 \)
- Tại \( (8, 0): Z = 3(8) + 4(0) = 24 \)

**Kết quả:**
Giá trị \( Z \) lớn nhất xảy ra tại điểm \( (6, 2) \).

Cuối cùng, ta có:
- Diện tích trồng dứa \( m = 6 \) ha.
- Diện tích trồng củ đậu \( n = 2 \) ha.

**Tính giá trị \( m + 2n \)**:
\[
m + 2n = 6 + 2(2) = 6 + 4 = 10
\]

Vậy giá trị \( m + 2n \) là **10**.