Để chứng minh nhận xét: trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Gọi tên tam giác và các điểm**:
- Xét tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle C = 90^\circ \).
- Gọi \( AB \) là cạnh huyền, \( AC \) và \( BC \) là hai cạnh góc vuông.
- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh huyền \( AB \).

2. **Tính độ dài cạnh huyền**:
- Gọi \( AB = c \).
- Theo định nghĩa, độ dài của trung tuyến tương ứng với cạnh \( AB \) từ đỉnh \( C \) đến điểm giữa \( M \) sẽ được tính theo công thức:

\[
CM = \frac{1}{2} AB
\]

Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( CM = \frac{1}{2}c \).

3. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Ta biết rằng trong tam giác vuông \( ABC \) với \( C \) là đỉnh vuông, áp dụng định lý Pythagore:

\[
AC^2 + BC^2 = AB^2
\]

- Gọi \( AC = a \) và \( BC = b \), thì:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

4. **Xét tam giác \( CMB \) và \( CMA \)**:
- Trong tam giác \( CMB \) và \( CMA \), cả hai tam giác này đều vuông tại \( C \) và có cạnh huyền \( AB = c \).
- Khi \( M \) là trung điểm của \( AB \), thì \( AM = MB = \frac{c}{2} \).

5. **Áp dụng định lý Pythagore trong \( CMB \)**:
- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( CMB \):

\[
CM^2 + MB^2 = CB^2
\]
\[
CM^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = b^2
\]
\[
CM^2 + \frac{c^2}{4} = b^2
\]

6. **Áp dụng định lý Pythagore trong \( CMA \)**:
- Tương tự, với tam giác vuông \( CMA \):

\[
CM^2 + AM^2 = AC^2
\]
\[
CM^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = a^2
\]
\[
CM^2 + \frac{c^2}{4} = a^2
\]

7. **Lập hệ phương trình**:
- Từ 2 phương trình trên, ta có:

\[
CM^2 + \frac{c^2}{4} = a^2 \quad (1)
\]
\[
CM^2 + \frac{c^2}{4} = b^2 \quad (2)
\]

- Từ phương trình (1) và (2) ta có:

\[
a^2 + b^2 = CM^2 + \frac{c^2}{4} + CM^2 + \frac{c^2}{4} = c^2
\]

- Do đó, \( 2CM^2 = c^2 - \frac{c^2}{2} \Rightarrow CM^2 = \frac{c^2}{4} \).

8. **Kết luận**:
- Từ \( CM^2 = \frac{c^2}{4} \) suy ra \( CM = \frac{c}{2} \).

Vậy, ta đã chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.