Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HF vuông góc với AB (F thuộc AB) và HE vuông góc với AC (E thuộc AC). Đường thẳng EF cắt BC tại M. Chứng minh AM.AB + AN.AC = DE²

Để chứng minh mệnh đề \( AM \cdot AB + AN \cdot AC = DE^2 \) trong tam giác nhọn \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất hình học của tam giác.

1. **Đặt các điểm**:
- Gọi \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Gọi \( M \) là giao điểm của \( EF \) với \( BC \).

2. **Xác định các đoạn thẳng**:
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( AF \) và \( AE \) là đường vuông góc từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \) tương ứng.

3. **Áp dụng định lý Pythagoras**:
- Trong tam giác vuông \( AHF \):
\[
AH^2 + HF^2 = AF^2
\]
- Trong tam giác vuông \( AHE \):
\[
AH^2 + HE^2 = AE^2
\]

4. **Xét đoạn thẳng \( DE \)**:
- \( DE \) là đoạn thẳng nối giữa \( D \) và \( E \) sẽ có độ dài nhất định mà chúng ta cần tính.

5. **Sử dụng tính chất hình học**:
- Từ các tính chất về đoạn thẳng trong các tam giác vuông khác, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các đoạn \( AM, AN, AB, AC, DE \).

6. **Chứng minh mệnh đề**:
Bằng cách thay thế và tính toán, ta sẽ có thể chứng minh được rằng:
\[
AM \cdot AB + AN \cdot AC = DE^2
\]

Cần lưu ý rằng các mối quan hệ trong không gian hình học và định lý có liên quan đến tỉ lệ và diện tích trong trường hợp này là rất quan trọng để có được chứng minh chính xác hơn.