Tìm giá trị của biểu thức

Để tìm giá trị của biểu thức \((x^2-1)+(y^2-1)+2x^2y^2\) với điều kiện \(x^2+y^2=2\), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Biểu thức ban đầu**:
\[
(x^2 - 1) + (y^2 - 1) + 2x^2y^2 = x^2 + y^2 - 2 + 2x^2y^2
\]

2. **Thay thế giá trị của \(x^2 + y^2\)**:
Từ điều kiện \(x^2 + y^2 = 2\), ta có:
\[
x^2 + y^2 - 2 = 2 - 2 = 0
\]
Vậy biểu thức trở thành:
\[
0 + 2x^2y^2 = 2x^2y^2
\]

3. **Ghi nhớ rằng \(x^2+y^2=2\)**:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc ghi nhớ rằng nếu \(x^2+y^2=2\), thì \(x^2\) và \(y^2\) không thể lớn hơn 2.

4. **Tìm giá trị tối đa của \(x^2y^2\)**:
Từ \(x^2 + y^2 = 2\), có thể viết \(y^2 = 2 - x^2\). Khi đó:
\[
z = x^2y^2 = x^2(2 - x^2) = 2x^2 - x^4
\]
Để tìm cực trị, lấy đạo hàm và đặt bằng 0:
\[
\frac{dz}{dx^2} = 2 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{2}
\]
Với \(x^2 = \frac{1}{2}\), ta có:
\[
y^2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

5. **Tính \(x^2y^2\)**:
\[
x^2y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{4}
\]

6. **Tính giá trị biểu thức**:
Giờ ta có:
\[
2x^2y^2 = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \((x^2-1)+(y^2-1)+2x^2y^2\) là \(\frac{3}{2}\).