Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM > MC và M ≠ C. Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các cạnh AB và AC

Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng yêu cầu một cách chi tiết.

### 1) Chứng minh tứ giác \( ADM N \) là hình chữ nhật

Ta có tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), với \( AB < AC \). Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \) sao cho \( BM > MC \).

- \( N \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên cạnh \( AB \), nên \( MN \) vuông góc với \( AB \).
- \( D \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên cạnh \( AC \), nên \( MD \) vuông góc với \( AC \).

Trong tam giác vuông \( ABC \):

- \( AD \) vuông góc với \( AC \).
- \( AN \) vuông góc với \( AB \).

Do đó, \( AN \perp MN \) và \( AD \perp MD \). Từ đó, ta có \( AD \parallel MN \) và \( AN \parallel MD \) với cả hai cặp cạnh đều vuông góc.

Vậy tứ giác \( ADM N \) là hình chữ nhật.

### 2) Trên tia đối của tia \( NM \) lấy điểm \( P \) sao cho \( NM = NP \)

Ta có:
- \( NM \) là một đoạn thẳng, đặt \( NM = x \).
- Điểm \( P \) là điểm nằm trên tia đối của tia \( NM \), nghĩa là \( PM = NM = x \).

Chứng minh rằng tứ giác \( APND \) là hình bình hành:

- \( NM = NP \) và \( AD \parallel NP \).
- \( AN \parallel DP \) và \( AD \parallel NP \).

Do đó, \( AP \parallel ND \) và \( AN \parallel PD \). Vậy \( APND \) là hình bình hành.

### 3) Gọi \( Q \) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \( M \) đến đường thẳng \( AP \); \( O \) là giao điểm của đường thẳng \( QM \) và đoạn thẳng \( ND \).

Chứng minh \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( QM \) và \( AQ_N = AD_N \):

- Do \( Q \) là chân vuông góc từ \( M \) đến \( AP \), \( MQ \) vuông góc với \( AP \).
- Đoạn thẳng \( QM \) sẽ cắt \( ND \) tại điểm \( O \).

Ta có:
- \( AO = OM \) và \( AQ_N = AD_N \) do \( AD \) là đường trung bình.

Vậy \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( QM \).

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành bài toán với các chứng minh cụ thể cho từng yêu cầu.