Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH,kẻ HE,HD lần lượt vuông góc với AB,AC

Để chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn BC trong tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH và các đường HE và HD vuông góc với AB và AC, ta tiến hành như sau:

1. **Kí hiệu và định nghĩa**:
- Gọi H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC.
- Gọi E là giao điểm của đường cao AH với AB.
- Gọi D là giao điểm của đường cao AH với AC.
- Gọi O là giao điểm của đoạn thẳng AO vuông góc với DE.

2. **Xét các tam giác**:
- Vì ABC vuông tại A nên ta có: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
- Ta có các tam giác vuông AHE và AHD.

3. **Xét tính chất của đường thẳng DE**:
- DE là đường thẳng vuông góc với đường cao AH, tức là DE là đường thẳng song song với cạnh BC (vì đường cao AH vuông góc với BC).
- Do đó, DE cách đều hai cạnh cong của tam giác ABC, tức là cách đều AB và AC.

4. **Tính chất của trung điểm**:
- Vì AO vuông góc với DE và DE song song với BC nên AO cũng sẽ là đường cao từ A xuống BC.
- Do tính chất của đường trung bình trong tam giác, O sẽ là trung điểm của đoạn BC.

5. **Kết luận**:
- Vậy, điểm O là trung điểm của BC, tức là \(OB = OC\).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn BC.