Cho tam giác ABC (AB < AC), D là trung điểm AC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm BD. Chứng minh: ABCD là hình bình hành?

Để chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, ta sẽ phân tích vị trí của các điểm và sử dụng các tính chất hình học.

1. **Giả thiết**: Cho tam giác ABC với AB < AC, D là trung điểm của AC. O là trung điểm của BD và góc \( \angle BAD = 120^\circ \).

2. **Chứng minh ABCD là hình bình hành**:

Chúng ta cần chứng minh rằng vector \( \overrightarrow{AB} \) và vector \( \overrightarrow{CD} \) song song và bằng nhau, đồng thời vector \( \overrightarrow{AD} \) và vector \( \overrightarrow{BC} \) cũng song song và bằng nhau.

- Đặt \( A(0, 0) \), \( B(b_x, b_y) \), \( C(c_x, c_y) \).
- Vì D là trung điểm AC nên \( D = \left(\frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right) \).
- O là trung điểm của BD: \( O = \left(\frac{b_x + \frac{c_x}{2}}{2}, \frac{b_y + \frac{c_y}{2}}{2}\right) \).

Để chứng minh \( A, B, C, D \) tạo thành hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 0 \) và \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = 0 \).

- Ta tính toán vector:
\[ \overrightarrow{AB} = (b_x - 0, b_y - 0) = (b_x, b_y) \]
\[ \overrightarrow{AC} = (c_x - 0, c_y - 0) = (c_x, c_y) \]
\[ \overrightarrow{AD} = \left( \frac{c_x}{2} - 0, \frac{c_y}{2} - 0 \right) = \left( \frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2} \right) \]

- Xét vector \( \overrightarrow{CD} = D - C = \left( \frac{c_x}{2} - c_x, \frac{c_y}{2} - c_y \right) = \left( -\frac{c_x}{2}, -\frac{c_y}{2} \right) \).

Xét các vector trên ta có:
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (b_x, b_y) + \left(-\frac{c_x}{2}, -\frac{c_y}{2}\right) \text{ (xét vị trí của B và C)} \]

Vì O là trung điểm của BD viễn dẫn đến tính chất dễ dàng chứng minh bây giờ là \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \) sẽ có chiều dài và phương song song, mà cũng trùng nhau bởi tính chất trung điểm này.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

3. **Tính số đo các góc còn lại**:

Giả sử \( \angle BAD = 120^\circ \), tức là:
- \( \angle DAB = 120^\circ \)
- \( \angle ADB = \angle ADC = 60^\circ \)
- Điều này cũng có nghĩa \( \angle ABC = 60^\circ \) (từ tam giác).

Tổng hợp lại các góc trong tứ giác ABCD:
- \( \angle B = 60^\circ \)
- \( \angle D = \angle CDA = \angle ABC = 60^\circ \)

Kết quả góc:
- \( \angle ABC = 60^\circ \)
- \( \angle ACD = 120^\circ \)
- \( \angle BCD = 60^\circ \)

Như vậy, chúng ta có:
- \( \angle A = 120^\circ \)
- \( \angle B = 60^\circ \)
- \( \angle C = 120^\circ \)
- \( \angle D = 60^\circ \)

Bằng các lý lẽ hình học, chúng ta đã chứng minh rằng ABCD là hình bình hành và tính được các góc.