Để chứng minh rằng \((2n+3)^2 - (2n-1)^2\) chia hết cho 8 với \(n \in \mathbb{Z}\), ta bắt đầu khai triển biểu thức:

\[
(2n+3)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot (2n) \cdot 3 + 3^2 = 4n^2 + 12n + 9
\]

\[
(2n-1)^2 = (2n)^2 - 2 \cdot (2n) \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 - 4n + 1
\]

Bây giờ, chúng ta tính hiệu:

\[
(2n+3)^2 - (2n-1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 - 4n + 1)
\]

Khi rút gọn, ta có:

\[
(2n+3)^2 - (2n-1)^2 = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 + 4n - 1
\]

\[
= 12n + 4n + 9 - 1 = 16n + 8
\]

Bây giờ ta có:

\[
(2n+3)^2 - (2n-1)^2 = 16n + 8
\]

Rõ ràng, \(16n + 8\) có thể được viết là \(8(2n + 1)\), có nghĩa là \(16n + 8\) chia hết cho 8.

Kết luận là \((2n+3)^2 - (2n-1)^2\) chia hết cho 8 với mọi \(n \in \mathbb{Z}\).