Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HP ⊥ AB (P ∈ AB), HQ ⊥ AC (Q ∈ AC). Gọi K là trung điểm của HC; O là giao điểm của AH và PQ. a) Tứ giác AQHP là hình gì? Vì sao?

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Tứ giác AQHP là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AQHP có các điểm A, Q, H, P. Ta có:
- A là đỉnh của tam giác vuông.
- H là chân đường cao từ A xuống BC.
- HP và HQ đều vuông góc với AB và AC, nghĩa là chúng cũng vuông góc với nhau.

**Kết luận:** Tứ giác AQHP là hình vuông, vì:
- Có 2 cạnh HP và AQ vuông góc với nhau.
- Các cạnh AQ và HP đều bằng nhau (do có chân đường cao), từ đó suy ra AQHP có tất cả các góc vuông và các cạnh bằng nhau.

### b) Chứng minh ΔKQH cân và OK là đường trung trực của HQ.

Để chứng minh ΔKQH là cân, ta cần chỉ ra rằng K là trung điểm của H và Q.
- K là trung điểm của HC.
- Mặt khác, H là chân đường cao và Q là vị trí trên AC, nên KH = KQ.

**Kết luận:** ΔKQH là tam giác cân tại K.

Để chứng minh OK là đường trung trực của HQ:
- Do K là trung điểm của HQ, bất kỳ điểm nào trên đường trung trực đều cách đều H và Q.
- Đường AH vuông góc với PQ, nên OK sẽ vuông góc với HQ, đồng thời cũng cắt HQ tại K (trung điểm).

### c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AOKC là hình thang cân.

Tứ giác AOKC là hình thang cân khi AO // KC và AK = OC.

**Điều kiện:** Để AO // KC, ta cần góc A và góc C phải bằng nhau, tức là tam giác ABC cần có cạnh AB = AC (tam giác đều).

Kết luận: Tứ giác AOKC là hình thang cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC là tam giác đều.

Hy vọng phần giải đáp trên có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!