Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HP ⊥ AB (P ∈ AB), HQ ⊥ AC (Q ∈ AC). Gọi K là trung điểm của HC; O là giao điểm của AH và PQ

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý từng yêu cầu trong đề bài:

### a) Tứ giác AQHP là hình gì? Tại sao?
Tứ giác AQHP là hình chữ nhật. Trong tứ giác AQHP, ta có:
- \(HP \perp AB\) (do HP là đường cao)
- \(HQ \perp AC\) (do HQ là đường cao)

Vì AH là đường cao phía A, nên A là góc vuông, và do đó các góc tại P và Q cũng là góc vuông. Từ đó, ta có bốn góc vuông trong tứ giác AQHP, điều này chứng minh rằng tứ giác AQHP là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh ΔKQH cân và OK là đường trung trực của HQ.
Để chứng minh ΔKQH cân, ta cần chứng tỏ rằng \(KQ = KH\).

- \(K\) là trung điểm của \(HC\), nên \(KH = KC\).
- Bởi vì \(HQ \perp AC\) và \(HP \perp AB\), ta có sự đối xứng của hình và \(K\) cách đều hai điểm \(Q\) và \(H\) trên đường cao \(AH\).

Như vậy, ΔKQH sẽ cân tại K.

Đường thẳng \(OK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(HQ\) vì:
- O là giao điểm của đường cao \(AH\) và PQ (đường thẳng đi qua hai điểm Q và P), do đó O là trung điểm của đoạn thẳng \(HQ\).

### c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AOKC là hình thang cân.
Tam giác AOKC sẽ là hình thang cân nếu AO || KC.

Để có điều này, ta cần đảm bảo rằng hai đường cao AH và PQ phải tạo thành cùng một góc với các cạnh AC và AB của tam giác ABC.

Cụ thể, cần điều kiện rằng các góc ∠AOK = ∠KCQ, tức là góc giữa đường thẳng AO và dòng thẳng KC phải bằng nhau. Điều này xảy ra khi AH và PQ đồng thời là đường cao trong tam giác ABC tại A.

Hy vọng rằng giải thích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán! Nếu có phần nào cần giải thích thêm, hãy cho tôi biết nhé!