Để tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình

\[
2x^2 + 4x = 19 - 3y^2,
\]

trước tiên, ta có thể sắp xếp lại phương trình này:

\[
2x^2 + 4x + 3y^2 - 19 = 0.
\]

Để dễ dàng hơn trong việc quan sát, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

\[
2x^2 + 4x + 3y^2 - 19 = 0.
\]

Phương trình này là một phương trình bật hai theo \( x \). Ta sẽ tính delta \( D \) của phương trình này. Phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với:

- \( a = 2 \),
- \( b = 4 \),
- \( c = 3y^2 - 19 \).

Delta sẽ được tính theo công thức:

\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3y^2 - 19).
\]

Tính delta:

\[
D = 16 - 8(3y^2 - 19) = 16 - 24y^2 + 152 = 168 - 24y^2.
\]

Để phương trình có nghiệm thực, \( D \) phải lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
168 - 24y^2 \geq 0.
\]

Giải bất phương trình này:

\[
24y^2 \leq 168 \implies y^2 \leq 7 \implies -\sqrt{7} \leq y \leq \sqrt{7}.
\]

Do \( y \) là số nguyên, nên \( y \) có thể nhận giá trị \( -2, -1, 0, 1, 2 \) (các giá trị nguyên nằm trong khoảng từ -2 đến 2).

Bây giờ, ta sẽ thay từng giá trị của \( y \) vào phương trình và tìm các giá trị tương ứng của \( x \).

1. **Nếu** \( y = -2 \):

\[
3(-2)^2 = 12 \implies 2x^2 + 4x + 12 - 19 = 0 \implies 2x^2 + 4x - 7 = 0.
\]

Tính delta:

\[
D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 16 + 56 = 72 \text{ (có 2 nghiệm khác nhau)}.
\]

Tiếp theo, giải phương trình:

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{-4 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{-1 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}}{1}.
\]

Kết quả x không phải là số nguyên.

2. **Nếu** \( y = -1 \):

\[
3(-1)^2 = 3 \implies 2x^2 + 4x + 3 - 19 = 0 \implies 2x^2 + 4x - 16 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0.
\]

Tiến hành giải:

\[
D = 4 + 32 = 36 \implies x = \frac{-2 \pm 6}{2}.
\]

Nghiệm:

\[
x = 2 \text{ hoặc } x = -4.
\]

>> Cặp nghiệm: \( (2, -1) \) và \( (-4, -1) \).

3. **Nếu** \( y = 0 \):

\[
3(0)^2 = 0 \implies 2x^2 + 4x - 19 = 0.
\]

Tính delta:

\[
D = 16 + 76 = 92 \implies x = \frac{-4 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{23}}{4} \text{ (x không nguyên)}.
\]

4. **Nếu** \( y = 1 \):

\[
3(1)^2 = 3 \implies 2x^2 + 4x + 3 - 19 = 0 \implies 2x^2 + 4x - 16 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \text{ (cách giải như trên)}.
\]

Nghiệm: Cũng như trên ở \( y = -1 \): \( (2, 1) \) và \( (-4, 1) \).

5. **Nếu** \( y = 2 \):

\[
3(2)^2 = 12 \implies 2x^2 + 4x + 12 - 19 = 0 \implies 2x^2 + 4x - 7 = 0 \text{ (cách giải như trên)}.
\]

Kết luận: Đoạn này cũng không có nghiệm nguyên.

Tổng hợp lại tất cả nghiệm nguyên:

- \( (2, -1) \)
- \( (-4, -1) \)
- \( (2, 1) \)
- \( (-4, 1) \)

Vậy các cặp số nguyên \( (x, y) \) mà thỏa mãn phương trình là:

\[
(2, -1), (-4, -1), (2, 1), (-4, 1).
\]